Snelle mentale berekening van $ 7,5 ^ 7 $

Ik heb onlangs de volgende vraag gesteld.

Gegeven $ 7 ^ 7 $ en $ 8 ^ 7 $, bij benadering $ 7,5 ^ 7 $.

Mijn idee was dat we $ (x + .5) ^ 7, (x - .5) ^ 7 $ kennen, waarbij $ x = 7.5 $. Dan zou het nemen van hun gemiddelde ongeveer $ 7.5 ^ 5 $ schatten. Nog andere ideeën?

EDIT: We moeten $ 90 \% $ zeker zijn van ons antwoord, wat een subjectieve term is, dus ik neem aan dat ons antwoord moet zijn behoorlijk accuraat.

2
Een nadere schatting is om in plaats daarvan het geometrische gemiddelde te nemen: $ \ sqrt {7 ^ 78 ^ 7} = \ sqrt {56} ^ 7 \ approx \ sqrt {56.25} ^ 7 = 7.5 ^ 7 $.
toegevoegd de auteur Tritium21, de bron
Een "betrouwbaarheidsinterval" is een statistische term en klopt niet veel in de context van deze vraag.
toegevoegd de auteur Tritium21, de bron
Moet dit niet worden gemigreerd naar Mathematics SE?
toegevoegd de auteur Nicholas Tolley Cottrell, de bron
Ik ben onder de indruk dat je die cijfers in hun hoofd kunt nemen. Hoeveel rekenwerk mogen we doen voordat de oplossing moeilijk wordt geacht om mentaal te presteren?
toegevoegd de auteur Robert de Graaf, de bron
@GarethMcCaughan: ik ben bijgewerkt.
toegevoegd de auteur user21555, de bron
@Aurey: Ik denk dat we papier kunnen vragen, maar de berekening moet natuurlijk snel zijn.
toegevoegd de auteur user21555, de bron
Weet jij hoe nauwkeurig de vragensteller wilde zijn?
toegevoegd de auteur Pankaj, de bron

3 antwoord

Hier is een oplossing die volgens mij niet overdreven gecompliceerd is, maar toch vrij nauwkeurig is (kan op papier worden gedaan). Gebruik de leidende termen in een binomiale uitbreiding.

$ (7.5) ^ 7 = 7 ^ 7 (1 + 0.5/7) ^ 7 \ approx 7 ^ 7 (1 + 0.5/7 * 7 + (0.5/7) ^ 2 * 21) $

aangezien $ 21 $ $ 7 $ is, kies $ 2 $.

Dit levert $ 7 ^ 7 (1,5 + 0,25/7 * 3) \ approx 7 ^ 7 (1,5 + 0,1) $ op

wat $ 1317668,8 $ oplevert, heel dicht bij de echte waarde $ \ approx1334838.86 $

6
toegevoegd
Ik denk dat als je dezelfde redenering toepast vanaf 8 en dan een gemiddelde uitvoert voor beide waarden, je nog dichterbij zou moeten kunnen komen.
toegevoegd de auteur Scott Weldon, de bron

Technisch gezien denk ik dat je vraag te breed is. Het vermindert tot: "Hoe kun je een betere benadering krijgen dan door een rekenkundig gemiddelde te doen zonder veel moeite te doen?" En ik begrijp niet wat "90% zeker" betekent. Als het betekent dat je binnen 10% moet zijn, dan is de oplossing eenvoudig en het kwalificeert niet echt als een puzzel.

Niettemin, aangezien ik hoofdrekenen altijd erg nuttig vond, is dit wat ik zou doen.

U weet dat 7.5 5 groter is dan 7. U weet dat $ 7 * 7 = 49 $. Daarom is 7,5 iets meer dan 7% groter dan 7.

$7.5^7 > 7^7 * 1.07^7$

Hoeveel kost $ 1,07 ^ 7 $? Nou, we weten dat het een beetje meer is dan $ 1 + (0,07 * 7) $, dus het is bijna 1,5. Dit geeft:

$7.5^7 > 7^7 * 1.5$.

Verder weet je dat

$7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$.

Nu:

$ 7 ^ 7 = 823,543 $
  $ 8 ^ 7 = 2.097.152 $

Als je echt slecht bent in hoofdrekenen, kun je 823.543 (het minimum) afronden tot 800.000 en $ 823.543 + 2.097.152 $ (het maximum) tot 3.000.000 om het volgende te krijgen:

$7^7 * 1.5 < 7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$
$800,000 * 1.5 < 7.5^7 < 3,000,000/2$
$1,200,000 < 7.5^7 < 1,500,000$

Je weet dat je een behoorlijke hoeveelheid groter bent dan het minimum en een redelijk bedrag minder dan het maximum, dus neem het middelpunt: 1.350.000. Dit blijkt binnen 2% van het juiste antwoord te zijn. Het duurt een tijdje om te schrijven en uit te leggen, maar je kunt dit in een paar seconden in je hoofd doen en zeker weten dat je binnen een paar procent van het juiste cijfer bent. Absoluut zeker dat je binnen de 10% zit, aangezien het aftrekken van 10% je net boven het minimum en net onder het maximum plaatst.

4
toegevoegd
Het enige probleem dat ik hiermee heb, is dat je $ 1.07 ^ 7 $ mentaal verwerkt en $ 1.5 $ krijgt. Hoe kun je dit doen?
toegevoegd de auteur jeffreypriebe, de bron
@question_asker Bedankt. Vast.
toegevoegd de auteur Craigger, de bron
@Trenin Als het nummer zeven keer 7% groter wordt, is het een beetje meer dan het toevoegen van .07 zeven keer. Zeven zevens zijn 49, dus het is iets meer dan 1,49. Met behulp van 1.5 wordt de resulterende wiskunde eenvoudiger.
toegevoegd de auteur Craigger, de bron
Je hebt $ 8 ^ {8} $ waar ik denk dat het $ 8 ^ {7} $ zou moeten zijn
toegevoegd de auteur question_asker, de bron

Veronderstellend $ 7 ^ 7 = a $ en $ 8 ^ 7 = b $

Ik denk dat we een schatting kunnen maken, zoals hieronder:

$$ {7.5} ^ 7 \ maal 1 \ approx \ int_7 ^ 8x ^ 7dx = \ frac 18 \ left (8 ^ 8-7 ^ 8 \ right) = 8 ^ 7- \ frac 78 7 ^ 7 = b- \ frac 78 a $$

wat $ 1376551.875 $ oplevert, heel dicht bij de echte waarde $ 1334838.867 $

Deze manier is gemakkelijk en snel.

0
toegevoegd