Ring homomorfisme van de representatiering in de groepsalgebra?

Gegeven een eindige groep G is de gecomplexiseerde ring van eindig-dimensionale complexe representaties isomorf voor zijn algebra van klassefuncties, door de tracering $ \ mathrm {Tr} _ \ rho: g \ mapsto \ mathrm {Tr} (\ rho ( g)) $. Deze klassenfuncties kunnen op hun beurt worden weergegeven om overeen te stemmen met de elementen in het midden van de groepsalgebra, door een klassenfunctie $ c: G \ to \ mathbb {C} $ naar het element te verzenden    $ \ sum_ {g \ in G} c (g) \ cdot g $ in de groepsalgebra.

Deze kaart van klassefuncties naar de groepsalgebra is geen ringhomomorfisme. In het bijzonder wordt de eenheid niet bewaard. Ik ben er echter vrij zeker van dat de representatiering en het midden van de groepsalgebra niettemin isomorf zijn als algebra's. Heb ik gelijk? Beter nog, is er een canoniek dergelijk homomorfisme met enig groepstheoretisch belang?

2
Qiaochu --- Ik zie nu wat je bedoelt met canoniek dual! Ja, dat is de juiste manier om naar dingen te kijken. Je hebt de vraag beantwoord die ik had moeten stellen, dus bedankt :). Steve, bedankt dat je op dat gedeelte van Serre wees, dat maakt de dingen heel duidelijk.
toegevoegd de auteur Templar, de bron
De twee algebra's zijn eindige dimensionale semisimple (controleer bijvoorbeeld of ze geen nilpotentia hebben) en commutatief van dezelfde dimensie, dus ze zijn isomorf.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
(Serre is naar alle waarschijnlijkheid Serres boek over representaties van eindige groepen in Steve's opmerking --- voor zover ik weet is Serre zelf niet verdeeld in secties!)
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Qiaochu, het zijn geen Hopf-algebra's.
toegevoegd de auteur JonesTheAstronomer, de bron
Ze zouden canoniek tweevoudig moeten zijn, als er iets is. Beide zijn Hopf-algebra's en de vermenigvuldiging op de ene komt overeen met de comultiplicatie aan de andere kant.
toegevoegd de auteur Assaf Lavie, de bron
Zie misschien paragraaf 6.3 van Serre.
toegevoegd de auteur Steve D, de bron
@Mariano: LOL, ja dat bedoelde ik. Het isomorfisme is daar geconstrueerd, maar het is niet canonisch.
toegevoegd de auteur Steve D, de bron

2 antwoord

Van de top van mijn hoofd: de representatie ring is echt geïndexeerd door de set van irreps (nou ja, OK, een set vertegenwoordigers uit equivalentie klassen daarvan) en is inderdaad commutatief en semisimple (althans over de complexe getallen) zo isomorf aan een geschikt direct product van kopieën van het grondveld.

Het centrum van de groepsalgebra is de (sub) algebra van klassefuncties, dus wordt het meest natuurlijk geïndexeerd door de reeks conjugatenklassen. Nogmaals, het is commutatief en semisimple dus isomorf voor een direct product van het juiste aantal kopieën van het grondveld.

Dus, hoewel ik het ermee eens ben dat de twee algebra's isomorf zijn wanneer je een eindige groep hebt, lijken de isomorfismen nogal afschuwelijk oncanonisch - als ik me correct herinner in de stelregel dat er geen canonieke bijectie is tussen de reeks conjugaatklassen en een representatieve reeks van irreps.

Ik heb ook het gevoel dat als er een "canoniek" homomorfisme zou zijn van de representatieve ring naar de groepering in het geval van eindige groepen, dan zou er wat analoog moeten zijn voor compacte groepen of abelse groepen. Maar dit lijkt niet het geval te zijn: denk bijvoorbeeld aan de groep van gehele getallen met zijn gebruikelijke additieve structuur.

5
toegevoegd
Jamie: andere vermenigvuldiging in het algemeen, denk ik. (Ik ben meer bekend met dit alles in de context van Fourier-algebra's en L ^ 1-convolutie-algebra's, maar wanneer de groep eindig is, kan dit woord "Banach" grotendeels zonder kwaliteit worden gelaten.) Convolutie van klassefuncties (in de groepsalgebra zijde) zou door de Fourier-transformatie naar het puntsgewijze product genomen worden - en we weten dat dit niet de manier is waarop de representatiering werkt, omdat het "product" van twee irreps in die ring de formele decompositie is van hun tensorproduct als een combinatie van irreps, niet het "Kronecker delta" -product.
toegevoegd de auteur Matt Miller, de bron
Bedankt voor die reactie, Yemon. Ik heb een vaag gevoel dat de Fourier-transformatie precies zo'n canoniek homomorfisme zou geven, maar de details glippen momenteel door mijn vingers.
toegevoegd de auteur Templar, de bron
Maar omdat alles eindig is, $ L ^ 2 (L ^ 2 (X)) \ simeq X $ --- dus wat is het onderscheid?
toegevoegd de auteur Templar, de bron
OK, sorry, dat klopte niet helemaal :)
toegevoegd de auteur Templar, de bron
Jamie, dat is niet waar voor de meeste $ X $ s! Overwegen. bijvoorbeeld, het geval waarbij $ X = \ {p \} $ een één elemnt-set is.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
De Fourier-transformatie zou een homomorfisme moeten verschaffen tussen L ^ 2 (één ding) en L ^ 2 (de andere), ruwweg gezegd, niet tussen de twee dingen zelf.
toegevoegd de auteur Assaf Lavie, de bron

Het centrum van de groepsalgebra heeft ook een basis die wordt geïndexeerd door irreducibele representaties, de basis van centrale niet-reduceerbare idempotenten. Maar de bijbehorende natuurlijke lineaire kaart is geen isomorfie (irreducibles zijn meestal geen idempotentia) tenzij je de groep een elementaire abelse 2-groep is. Dus de natuurlijke kaart is een soort Fourier-transformatie zoals opgemerkt door Qiaochu.

1
toegevoegd