hoe een derivaat van een stochastisch proces te vinden?

Beschouw de volgende vergelijking voor $ X (t) $:

$$ X (t) = e ^ {- bt} X (0) + \ sigma \ int_ {0} ^ {b} e ^ {- b (t-s)} dW (t) \, $$

where $0 < b, \sigma\in\mathbb{R} $, $X(0)$ is the initial distribution of $X(t)$, independent of the Brownian motion $W(t)$. I want so show that $dX(t)= -bX(t)dt+\sigma dW(t)$, but I am getting stuck on computing the derivative of $$\sigma\int_{0}^{b}e^{-b(t-s)}dW(t) \, .$$

Kan iemand me wat ideeën geven? Heel erg bedankt voor je tim.

PS. the above equation is one of type of the Langevin's equation, more detail could be found here http://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation


2 antwoord

If you interpret the stochastic integral in the Ito-sense (often used in finance) you'll have to use Ito's lemma to evaluate it:
See e.g. here: Ito's lemma

Alternatively you could interpret it in the Stratonovich-sense (often used in physics):
See e.g. here: Stratonovich integral

A good introduction to solving these kinds of stochastic differential equations (sde) without the use of measure theory and with lots of intuition is e.g. Wiersema: Brownian motion calculus


Ok hier is de truc

Gebruik Itô's lemma genoemd door vonjd om de functie $ f (t, X_t) = e ^ {bt} .X (t) $ en na een beetje algebra krijg je wat je wilt.

vriendelijke groeten