Hoe symmetrie-factoren van Feynman-diagrammen te tellen?

Ik heb genoeg angst dat deze vraag misschien wordt geschrapt. Laat me het nog proberen.

Ik zal mezelf beperken tot $ \ frac {\ lambda \ phi ^ 4} {4!} $ Verstoorde echte scalaire kwantumveldentheorie en noemen als "symmetriefactor" van een Feynman-diagram om het uiteindelijke getal te zijn waarmee de kracht van $ \ lambda $ is verdeeld in de uiteindelijke integrale weergave van het diagram.

Op die manier is de symmetriefactor van de figuur van acht vacuümbel 8 en van het "kikkervelddiagram" 2.

Een manier om deze factor goed te krijgen, is door het aantal manieren te tellen waarop de vrije armen in het 'pre-diagram' kunnen worden gecontracteerd. Maar dit is meer een kookboekregel dan een begrip van hoe de factor komt.

Ik geloof dat de meest conceptueel juiste manier is om voor elk diagram het aantal termen in de representatie te tellen als een functionele afgeleide van de padintegraal die dat diagram geeft.

In dat plaatje moet men beweren dat er precies $ 4! $ Termen waren geproduceerd door het functionele derivaat dat die acht vacuümbel produceerde. Wat ik kan betogen.

Maar voor het kikkervisdiagram en het product van de vacuümbel met de vrij-vermeerderaar, kan ik geen argument vinden. Zoals iemand moet kunnen aantonen dat er in de functionele afgeleide foto $ 4! \ Keer 3 is! \ tijden (2!) ^ 2 $ termen die overeenkomen met het diagram van de kikkervisjes.

Alle hulp met betrekking tot hoe dit tellen wordt gedaan of een algemeen kader dat helpt bij het correct berekenen van deze symmetriefactoren?

18

3 antwoord

Precies hoe u symmetrie meet, hangt af van uw normalisaties, en in het bijzonder van of u verdeelde (dat wil zeggen "exponentiële") krachtreeksen of gewone krachtreeksen gebruikt. Ik ben ervan overtuigd dat verdeelde krachten de juiste weg zijn. Om notatie vast te stellen, zal ik eerst de voorrondes beoordelen, waarvan u zeker weet dat u het al weet.

So let me consider Dyson series for integrals of the form: $$\int_{x\in X} \exp\left( \sum_{n\geq 2} \frac{c_n x^n}{n!} \right) {\rm d}x$$ In actual physics examples, $X$ is an infinite-dimensional space and the measure ${\rm d}x$ does not exist, but no matter. Each coefficient $c_n$ is a symmetric tensor $X^{\otimes n} \to \mathbb R$ or $\mathbb C$, and we suppose that $c_2$ is invertible as a map $X \to X^*$ — in infinite-dimensional settings, this is a very problematic supposition, and leads to questions of renormalization, which I will not address here. (Incidentally, in all actual physical quantum field theories, $c_2$ is not a priori invertible, because of gauge symmetry; so I am assuming that you have fixed that however suits your fancy.) Finally, Dyson series/Feynman diagrams are by definition perturbative, meaning that you need some perturbation parameter. There are various choices for how to do this; ultimately what's important is that ratios $\lvert c_n\rvert/\lvert c_2 \rvert^{n/2}$ are infinitesimal for $n \geq 3$. In your example, $c_2$ is normalized to unity, and $c_4 = \lambda \ll 1$. Another option is to set all coefficients $\lvert c_n\rvert \sim \hbar^{-1}$, where $\hbar \ll 1$.

In any case, the Dyson series is correctly calculated by expanding $$ \int_{x\in X} \exp\left( \sum_{n\geq 2} \frac{c_n x^n}{n!} \right) {\rm d}x = \int_{x\in X} \exp \left( \frac{c_2x^2}2\right) \sum_{m=0}^\infty \left( \sum_{n\geq 3} \frac{c_n x^n}{n!} \right)^m {\rm d}x, $$ using "Wick's theorem" for $b_\ell$ a totally symmetric tensor $X^{\otimes \ell} \to \mathbb R$: $$ \int_{x\in X} \exp \left( \frac{c_2x^2}2\right) \frac{b_\ell x^\ell}{\ell!} = \begin{cases} 0, & \ell \text{ odd} \\ \text{normalization} \times \frac{b_\ell (c_2/2)^{\ell/2}}{(\ell/2)!}, & \ell \text{ even} \end{cases},$$ (where $\text{normalization}$ involves $\det c_2$, factors of $\sqrt{2\pi}$, and doesn't make really sense in infinite dimensions), and recognizing what all of these exponential generating functions are counting.

Wanneer al het stof is neergeslagen, tellen deze (allemaal: niet verbonden, leeg, enz.) Grafieken met driewaardige en hogere hoekpunten, mod-symmetrieën. Als u een $ \ log $ out voor de gehele integraal gooit, telt de resulterende exponentiële genererende functie verbonden grafieken, nog steeds mod-symmetrieën.

In ieder geval, om je vraag voor de Dyson-serie hierboven te beantwoorden: de waarde van elke grafiek wordt berekend door een $ c_n $ te plaatsen op elke hoek van de valentie $ n $ en een $ (c_2) ^ {- 1} $ op elk rand en contracteren deze tensoren volgens de grafiek. De symmetriefactor is precies het aantal automorfismen van de grafiek, dat als volgt wordt gedefinieerd:

Definition: A Feynman graph is a collection $H$ of half edges along with two partitions: one (edges) into sets of size precisely $2$, and the other (vertices) into sets of size at least $3$. (Since each graph will be weighted by the coefficients $c_n$, if you want graphs for a theory with most $c_n = 0$, you can restrict to only graphs with the prescribed valences. If $X$ splits as a direct sum $X = X_1 \oplus X_2$, you can reasonably define graphs with half-edges colored by $X_1,X_2$. If you want to compute an integral with an "observable", you should consider graphs with prescribed "external half-edges".) This is the correct definition, because it gives the correct notion of iso/automorphism. In particular, an isomorphism of Feynman graphs is a bijection of half edges that induces bijections on the partitions. An automorphism is an isomorphism from a Feynman graph to itself. Then the symmetry factor is precisely the number of automorphism in this sense.

(Een ander begrip van "grafiek" dat in de wiskunde vaker wordt gebruikt, is dat van een "aangrenzingsmatrix", die een $ \ mathbb Z _ {\ geq 0} $ - waarde matrix is, geïndexeerd door de hoekpunten van de grafiek. isomorfie van dergelijke dingen is een bijectie van hoekpunten die gelijkheid van aangrenzende matrices induceert, maar dit is niet de juiste voor het tellen van symmetrieën van Feynman-diagrammen, omdat het bijvoorbeeld "$ 1 $" geeft voor elk van de acht-acht en kikkerveld diagrammen.)

Voor kleine grafieken splitst de automorfismengroep zich op als een direct product. Voor het cijfer acht is de automorfismengroep bijvoorbeeld $ (\ mathbb Z/2) \ ltimes (\ mathbb Z/2) ^ 2 $, waarbij de $ (\ mathbb Z/2) ^ 2 $ fungeert als salto's van de twee lobben van het cijfer acht, en de linker $ \ mathbb Z/2 $ schakelt de twee lobben. In een "$ \ phi ^ 3 $" -theorie heeft de theta-grafiek automorphism group $ (\ mathbb Z/2) \ ltimes S_3 $, waarbij $ S_3 $, de symmetrische groep op drie objecten, werkt om de randen te permitteren, en de $ \ mathbb Z/2 $ schakelt de twee hoekpunten. Dus het cijfer acht heeft $ 2 \ times 2 ^ 2 = 8 $ symmetrieën, en de theta heeft $ 2 \ maal 3! = 12 $ symmetrieën. Voor kleine grafieken kunt u deze semidirect-productdecomposities eigenlijk gewoon aflezen: zelflussen dragen factoren bij van $ \ mathbb Z/2 $, elke verzameling $ k $ parallelle randen draagt ​​een factor $ S_k $ bij, als u hoekpunten permuteert , dat is een andere factor, etc. Voor grote grafieken worden de berekeningen veel moeilijker, en ik denk dat ik een grafiek kan vinden waarvan de symmetriegroep een eindige groep is die je wilt (maar citeer me niet over die gedachte). Een langzame manier om de berekening uit te voeren, is om alle mogelijke permutaties van halve randen in overweging te nemen en te kijken of ze automorfisme veroorzaken. Dit is traag omdat er $ (\ text {lots})! $ Veel van dergelijke permutaties zijn. Het hele punt van werken met de Dyson-serie is om dit te voorkomen. Gelukkig berekent niemand ooit grote grafieken, omdat zelfs het samentrekken van alle tensoren zo moeilijk is voor die.

Finally, I cannot help but mention one more fact you probably know. These Dyson series almost never have positive radius of convergence in the perturbation parameters. In particular, even after dividing by symmetry factors, there are still a lot of graphs, and so the coefficients grow as $n!$. A good exercise is to compute the Dyson series for the conditionally-convergent Riemann integral $\int_{\mathbb R} \exp \frac i \hbar \bigl( \frac{x^2}2 + \lambda \frac{x^3}6 \bigr){\rm d}x$. (The $i$ is there to make the integral conditionally converge; I tend to work with $\hbar$ as my perturbation parameter.) Then the Dyson series grows as $\sum \frac{(6n!)}{(2n)!\,(3n)!} \alpha^n$, where $\alpha$ is linear in $\lambda\hbar$ (something like $\alpha = \lambda\hbar/6$). The point is that by Stirling's formula $\frac{(6n!)}{(2n)!\,(3n)!} \approx \beta^n n!$ for some positive $\beta$. In any case, this is not at all surprising. Integrals of the form $\int \exp \sum c_nx^n/n!$ are essentially never analytic at $0,\infty$ in the coefficients — for example, Gauss's formula $\int_{\mathbb R}\exp(-a^{-1}x^2/2){\rm d}x = \sqrt{2\pi a}$ has a ramified point at $a = 0,\infty$, and so the Riemann integral extends from its domain of convergence (${\rm Re}(a) > 0$) to a double-valued complex function in $a$.

15
toegevoegd
Dit is gewoon een geweldig antwoord. Kent u goede referenties die de beschrijving van Feynman-grafieken die u hier heeft uiteengezet, gebruikt en nader toelicht? (met name je definitie in termen van halve randen, partities, etc.) Als student natuurkunde ben ik niet bekend met de wiskundige literatuur over dit soort dingen.
toegevoegd de auteur miguel, de bron
@joshphysics deze vraag wordt oud, maar ik zou "Grafieken op oppervlakken" van Zvonkin en Lando aanraden. Het is een wiskundig boek waarin verschillende opmerkelijke fysieke toepassingen worden genoemd en in detail de combinatorische problemen met betrekking tot halfranden worden besproken (uiteindelijk zijn ze gerelateerd aan willekeurige matrixtheorie).
toegevoegd de auteur Marshall House, de bron

Ik denk dat deze vraag voornamelijk gaat over het mentaal internaliseren van de interpretatie van het genereren van functies en de orbit-stabilizer theorem . Dat wil zeggen, als je kunt begrijpen hoe de regels voortkomen uit een methode die voor jou natuurlijker lijkt, dan zou de opsomming van automorfismen minder moeten lijken op willekeurige cookbookregels.

Er is een goede uiteenzetting van de symmetriefactoren in sectie 5 (pagina 25) van Alex Barnard's aantekeningen van Richard Borcherds's QFT-klasse van 2001 . Om de combinatoriek van de diagrammen te distilleren, geeft het een behandeling van de $ \ phi ^ 4 $ -theorie in ruimtetijd-dimensies, waarbij de padintegraal slechts een gewone eendimensionale integraal is: $$ Z = \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- \ phi ^ 2/2 - \ lambda \ phi ^ 4/4!} d \ phi. $$

Je kunt deze integraal uitbreiden als een reeks in polynomen tijden Gaussians, en waarnemen dat de $ \ frac {(2n)!} {N! 2 ^ n} $ in de identiteit $ \ int_ \ mathbb {R} \ phi ^ {2n } e ^ {- \ phi ^ 2/2} d \ phi = \ frac {(2n)!} {n! 2 ^ n} \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- \ phi ^ 2/2} d \ phi $ somt de overeenkomsten op van $ 2n $ gelabelde hoekpunten. Als u vraagt ​​om $ k $ ($ = \ frac {n} {2} $) hoekpunten om valentie 4 te hebben, dan is er een groep van orde $ k! (4!) ^ K $ die de hoekpunten en hun invoer permuteert en deze volgorde gedeeld door de volgorde van de stabilisator van een bepaald isomorfisme-type is de volgorde van de automorfismengroep. Door coëfficiënten te vergelijken, vindt u dat somomvattende isomorfismetypen, gewogen door hun automorfismen, exact dezelfde termen opleveren als de padintegraal.

Ik veronderstel dat er misschien een verklaring op hoog niveau is met behulp van soortentheorie, maar ik ben niet de juiste persoon om het te geven.

4
toegevoegd
Dank je. Ik zie dat er een versie online is: arxiv.org/abs/math.CO/0212121
toegevoegd de auteur ricree, de bron
Je vindt de verklaring van de soort in mijn artikel "Feynman-diagrammen in algebraïsche combinatoriek" in Seminaire Lotharingien 49.
toegevoegd de auteur Untitled, de bron
Het is een beetje anders dan de gepubliceerde versie die te vinden is op emis.de/journals/ SLC/wpapers/s49abdess.html
toegevoegd de auteur Untitled, de bron

Een formule voor de berekening van de symmetriefactoren in de $ \ lambda \ phi ^ 4 $ -theorie wordt gegeven in het volgende article door Dong Hue Long en Thao

2
toegevoegd