Normaal bestellen met Vertex-operators in Conformal Field Theory

De "definitie" van de normale volgorde in CFT lijkt mij wat vaag.

Ik vond de definitie in termen van exponentiated functionele afgeleide nogal ondoorzichtig.

Ook in deze context kan het helpen als iemand een referentie kan geven of als er een korte uitleg is om te begrijpen hoe de uitbreiding van het operatorproduct wordt afgeleid met behulp van producten van normaal geordende operatoren.

Ik zie niet het conceptuele kader waarin deze ideeën bij elkaar passen. Sommige boeken die ik bekeek, gaven een heel ongelijk beeld als een verzameling ingewikkelde formules.

Laat me een precies voorbeeld geven van het soort berekening waar ik mee zit,

Refer to these lecture notes

Ik kan vergelijking 4.26 van deze, maar niet de volgende 4 vergelijkingen begrijpen die eruit lijken te volgen, leidend tot 4.28.

Het zou handig zijn als iemand de berekening kan decoderen.


In het licht van de soorten referenties die binnenkwamen als antwoorden, denk ik dat het zou helpen als ik de problematische berekening wat explicieter zou maken.

Dit heeft te maken met wat "Vertex Operators" worden genoemd in CFT gegeven als $: e ^ {ikX (z)}: $ waarbij $ :: $ de notatie is voor normaal bestellen en $ k $ is een scalaire waarde en $ X $ is een conformistisch invariant vrij Bosonisch veld. Dan zou ik graag de afleiding van deze gelijkheid willen begrijpen,

(alle uitdrukkingen worden geacht geldig te zijn onder het Feynman-pad integraal)

$: \ partial X (z) \ partial X (z) :: e ^ {ikX (w)}: = - \ frac {k ^ 2 \ alpha ^ 2} {4} \ frac {: e ^ {ikX ( w)}:} {(zw) ^ 2} -ik \ alpha \ frac {: \ partial X (z) e ^ {ikX (w)}:} {(zw)} $

waar hebben we $ X (z) X (w) = - \ frac {\ alpha} {2} ln \ vert z - w \ vert $

en wat zou de vergelijkbare vereenvoudiging zijn van

$: e ^ {ikX (z)} :: e ^ {ikX (w)}: =? $


Wat meer uitleg over hoe zit het met normale ordening waar ik me zorgen over maak.

Het probleem is dat ik niet in deze boeken een eerlijke definitie kan geven van wat het betekent voor 'normale orde'-operatoren in CFT. Alsof er een zeer schone definitie is in de rest van QFT, wiens relatie met tijdbestelling wordt gegeven door de stelling van de Wick. Hier in CFT wordt verondersteld dat men begrijpt dat terwijl normale ordening een reeks operatoren die op verschillende punten op de ruimte-tijd zijn ingevoegd, op elke mogelijke manier aftrekt van het product, waarin een of meer paren van invoegpunten kunnen samenvallen en een singulariteit produceren

Alsof A, B, C, D 4 verschillende Bosonic-operatoren zijn, zeggen ze ingevoegd op 4 verschillende ruimtetijdpunten. Dan zou men normale ordening definiëren als,

$: ABCD: = ABCD - (AB): CD: - (AC): BD: - (AD): BC :-( BC): AD :-( BD): AC: $ $$ - (CD): AB :-( AB) (CD) - (AC) (BD) - (AD) (BC) $$

waarbij() staat voor de correlatiefunctie van de operatoren.

Nu gaat het erom of men verondersteld wordt de bovenstaande soort vergelijkingen te nemen als een goed gemotiveerde definitie of is er iets fundamenteler waaruit het af te leiden is?

Er is zeker een probleem met het definiëren van het verschil tussen twee uiteenlopende uitdrukkingen hier.

10
Wat zijn "sommige boeken" die je hebt geprobeerd? Een axiomatische benadering is afgeleid van associativiteit en commutativiteit van Frenkel, Lepowski, Meurman. Een gerelateerd alternatief is in Kac's "Vertex algebra's voor beginners".
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Om de opmerkingen van José hieronder te benadrukken en te herhalen: men moet onderscheid maken tussen (a) de Operator Product Expansion (OPE), die een van de kenmerken is van de wiskundige formulering van CFT en (b) Wick's stelling, die uitlegt hoe te herschrijven bepaalde producten van vrije boson- of fermionvelden in de normale vorm. De $ :: $ notatie gebruikt in (a) en (b) is hetzelfde, om historische redenen en omdat (a) meer algemeen is. Maar de definitie $: AB: $ in (a) is direct. Mits OPE lokaal is, d.w.z. commutativiteit en associativiteit die ik noemde, kun je berekeningen doen zoals die je wilde.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron

2 antwoord

De beste referentie die ik ken voor dit soort berekeningen is het proefschrift van Kris Thielemans . Hoofdstuk 2 gaat over de berekeningen van operatorproductuitbreidingen in tweedimensionale conformale veldentheorie. In het bijzonder in paragraaf 2.6.1 vindt u de soort berekening waarin u geïnteresseerd bent in detail uitgelegd. Het formalisme is schoon en helemaal niet moeilijk.

toegevoegd

Hier is een schets van de berekening van de uitbreiding van het operatorproduct tussen twee vertex-operators $ V_k (z) $ en $ V_ \ ell (w) $ waarbij $$ V_k (z) =: e ^ {i k X (z)}:, $$ waar $$ X (z) = x - i p \ log z + i \ sum_ {n \ neq 0} \ tfrac1n a_n z ^ {- n}, $$ met canonieke commutatierelaties (CCR's) $ [p, x] = 1 $ en $ [a_n, a_m] = n \ delta_ {n + m, 0} $.

The normal ordering prescription consists of writing the creation operators to the left of the annihilation operators: $$ V_k(z) = e^{\sum_{n>0} \frac{k}{n} a_{-n} z^n} e^{ikx} z^{kp} e^{-\sum_{n>0} \frac{k}{n} a_n z^{-n}}.$$

Om de uitbreiding van het operatorproduct $ V_k (z) V_ \ (w) $ te berekenen, moet men eenvoudigweg het formele product van de bovenstaande uitdrukkingen voor de vertex-operators nemen en de operatoren pendelen door de CCR's te gebruiken om de creatie-operators naar links. De basisberekeningen zijn eenvoudige Weyl-identiteiten van het formulier $$ e ^ {- \ frac {k} {n} a_n z ^ {- n}} e ^ {\ frac {\ ell} {n} a _ {- n} w ^ n} = e ^ {\ frac { \ ell} {n} a _ {- n} w ^ n} e ^ {- \ frac {k} {n} a_n z ^ {- n}} e ^ {\ frac {k \ ell} {n} (\ frac {w} {z}) ^ n} $$ en een vergelijkbare voor $ x $ en $ p $.

The resulting power series converges provided that the fields are radially ordered so that $|z|>|w|$, but the result can be analytically continued with either a pole at $z=w$ or a branch cut singularity depending on the values of $k$ and $\ell$.

De laatste stap is om de $ z $ -afhankelijke velden rond $ z = w $ uit te breiden.

5
toegevoegd
Ik heb een schets van de berekening toegevoegd.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Sterk anders ?! Ik denk het niet. Het is hooguit een verschil in notatie. De bovenstaande formules zijn strikt gesproken waar binnen radiaal geordende correlatiefuncties, maar sommige mensen (bijv. Ik) schrijven deze nooit expliciet. Naast het proefschrift van Thieleman (hierboven gelinkt), heb ik de "Applied Conformal field theory" van Paul Ginsparg en de "Colleges in de snaartheorie" gevonden door Dieter Lüst en Stefan Theisen als goede referenties.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Het normaal bestelde product tussen twee velden $ A, B $ zegt, is ondubbelzinnig als volgt gedefinieerd. U berekent de uitbreiding van het operatorproduct $ A (z) B (w) $. Dit is een Laurent-reeks in $ z-w $, waarvan de coëfficiënten velden zijn op $ w $. Je gooit het polaire stuk weg en neemt de limiet $ z \ tot w $. Het resulterende veld is per definitie het normaal bestelde product $: AB: (w) $. Het normale bestelproduct van een willekeurig aantal velden kan worden gedaan door het bovenstaande te herhalen. Het is het beste om niet te denken in termen van Wick-samentrekkingen, waarmee het alleen akkoord gaat met vrije velden.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
@JianrongLi: Uit mijn hoofd, denk ik dat het boek van Lüst en Theisen dat ik in mijn opmerking hierboven noemde, de berekening tot in detail heeft doorgevoerd.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Bedankt voor deze referentie. Ik heb het even bekeken, maar het lijkt niet de specifieke berekening aan te pakken waar ik naar op zoek ben. Ik heb nu meer expliciet de vergelijking uitgeschreven waarvan ik de afleiding probeer te begrijpen.
toegevoegd de auteur papirtiger, de bron
Bedankt voor dit gedetailleerde antwoord. Maar deze taal van het doen van CFT verschilt sterk van die in de boeken van Polchinski of het boek van Francesco et. al. Een duidelijke definitie van hoe producten van normaal geordende operatoren worden gedefinieerd, is niet gemakkelijk te vinden in deze boeken. Ze vermelden dat het "analoog" is aan de stelling van Wick zoals in QFT, maar de analogie is verre van evident. Kun je een referentie geven die deze technologie beter verklaart?
toegevoegd de auteur papirtiger, de bron
Ik heb wat meer uitleg aan de vraag toegevoegd om mijn punt van twijfel hopelijk een beetje duidelijker te maken.
toegevoegd de auteur papirtiger, de bron
@ JoséFigueroa-O'Farrill, zijn er enkele referenties over het bewijs van de Weyl-identiteit: \ begin {align} e ^ {- \ frac {k} {n} a_n z ^ {- n}} e ^ {\ frac { \ ell} {n} a _ {- n} w ^ n} = e ^ {\ frac {\ ell} {n} a _ {- n} w ^ n} e ^ {- \ frac {k} {n} a_n z ^ {- n}} e ^ {\ frac {k \ ell} {n} (\ frac {w} {z}) ^ n}? \ end {align} Ik heb geprobeerd het te verifiëren door beide zijden uit te breiden. Maar ik kan de identiteit niet bewijzen. Dank u zeer.
toegevoegd de auteur Dean MacGregor, de bron
@ JoséFigueroa-O'Farrill, hartelijk dank.
toegevoegd de auteur Dean MacGregor, de bron

Het veld $ L =: \ partial X \ partial X: $ is Virasoro en je eerste formule zegt dat een vertex-operator een primair veld (hoogste gewichtsvector) is met betrekking tot de Virasoro-actie, met het juiste gewicht. Dit is een basisberekening met vertex-operatoren gedaan in bijna elk tekstboek over conforme veldentheorie (Kaku, Di Francesco, enz.). Misschien wilt u ook kijken naar een van de eerste wiskundige behandelingen van vertex-operators, heel duidelijk geschreven:

Frenkel, I. B .; Kac, V. G. Basisrepresentaties van affiene Lie-algebra's en modellen met dubbele resonantie. Uitvinden. Wiskunde. 62 (1980/81), nr. 1, 23--66

Trouwens, de juiste manier om over OPE te denken voor bosonische velden is

$$ \ partial X (z) \ partial X (w) = \ frac {1} {(z-w) ^ 2}. $$

De "onbewerkte" $ X (z) $ komt alleen voor als een deel van de exponentiële uitdrukking die de vertex-operator definieert, nooit alleen.

3
toegevoegd