Hoe weet je wanneer een reflecterende subcategorie van Top quotiënt-reflecterend is?

Een subcategorie $ \ mathcal {C} $ van de categorie $ Top $ van topologische spaties is een reflecterende subcategorie als de opnamefunctie $ i: \ mathcal {C} \ hookrightarrow Top $ heeft een links $ r: Top \ rightarrow \ mathcal {C} $. Met andere woorden, voor elke spatie $ X $ is er een spatie $ RX \ in \ mathcal {C} $ en een kaart $ r: X \ rightarrow RX $ zodanig dat voor elke kaart $ f: X \ rechtsstaat Y $ met $ Y \ in \ mathcal {C} $, er is een unieke kaart $ \ tilde {f}: RX \ rightarrow Y $ zodanig dat $ \ tilde {f} \ circ r = f $.

Als de reflectiekaart $ r $ altijd een quotient-kaart is, wordt $ \ mathcal {C} $ een quotiënt-reflecterende subcategorie genoemd. Het lijkt er bijvoorbeeld op dat de subcategorieën van $ T_0 $ spaces en $ T_2 $ spaces quotient-reflective zijn, maar de subcategorieën van volledig reguliere spaties en compacte Hausdorff-spaties zijn reflectief maar niet quotiënt-reflecterend. Ik zou ook graag andere voorbeelden van quotiënt-reflecterende subcategorieën horen.

Er lijken voorwaarden te zijn die volledig kenmerkend zijn wanneer een subcategorie reflecterend is. Er worden bijvoorbeeld enkele noodzakelijke voorwaarden genoemd in het antwoord op deze MO vraag . Zijn er ook voorwaarden die subcategorieën kenmerken die quotiënt-reflecterend zijn?

4

2 antwoord

De volgende stelling (16,8 in abstracte en concrete categorieën, Adamek-Herrlich-Strecker) kan nuttig zijn.

Laat E en M subklassen van respectievelijk epis en monoes zijn, gesloten onder compositie met isomorfismen. Als A een volledige subcategorie is van een (E, M) -factoriseerbare categorie B, dan zijn de volgende voorwaarden gelijkwaardig:

(1) A is E-re fl ectief in B.

(2) A wordt gesloten onder de vorming van M-bronnen in B.

In het geval dat B producten heeft en E-co-goed is, zijn de bovenstaande voorwaarden gelijk aan:

(3) A wordt gesloten onder de vorming van producten en M-subobjecten in B.

In het geval van TOP zou E een extreme episode zijn en M monoes. In topologische constructies zijn extreme episodes exacte quotiënten (finaal en surjectief). TOP is extreem epi-monofactoriseerbaar, heeft producten en is extreem co-goedkrachtig. Dus een volledige subcategorie is quotiënt reflecterend in TOP als en alleen als het is gesloten onder producten en (niet noodzakelijk initiële) subobjecten.

De subcategorieën van volledig reguliere ruimtes zijn bijvoorbeeld niet gesloten voor "meer open plaatsen", dus het is, zoals je zei, niet quotiënt reflecterend.

4
toegevoegd

Als je me een minuut laat wegtrekt van $ Top $, zijn er veel voorbeelden van quotiënt-reflecterende subcategorieën. Een eenvoudig voorbeeld is dat Abelse groepen quotiënt-reflecterend zijn in groepen, omdat de eenheid van de toevoeging een quotient-kaart $ \ pi: G \ tot G/[G, G] $ is. In het algemeen, als u begint met een algebraïsche theorie $ T $, waarvan de handtekening wordt gegeven door een set functiesymbolen, en als $ T '$ dezelfde handtekening heeft maar meer universeel gekwantificeerde equationele axioma's naast die van $ T $, dan is de categorie van $ T '$ - modellen, als een volledige subcategorie van de categorie van $ T $ -modellen, quotiënt-reflecterend: als $ G $ een $ T $ -model is, dan is de eenheid van de toevoeging de quotiënt van $ G $ door de kleinste $ T $ -gesloten congruentie die paren van termen bevat waarvan de gelijkheid wordt beweerd in $ T '$.

Een enigszins ander voorbeeld is dat schijven (w.r.t. elke site) quotiënt-reflecterend zijn in de categorie van presheaves in de onderliggende categorie van de site. (Eigenlijk kan dit enigszins vergelijkbaar zijn, zoals men scheldt door de plusconstructie twee keer toe te passen, en het toepassen van de plus-constructie weerspiegelt eenmaal in gescheiden presheaves, die worden gedefinieerd door extra vergelijkingen op presheaves.)

De voorbeelden die u in $ Top $ geeft, zijn interessant: in elk van de $ T_0 $ en $ T_2 $ gevallen geeft de extra voorwaarde die de volledige subcategorie definieert een vergelijkende vergelijking. Dus, $ T_0 $ zegt $ x = y $ als $ x $ en $ y $ dezelfde buurten hebben; $ T_2 $ zegt dat $ x = y $ als elke open van $ (x, y) $ in $ X \ maal X $ een punt $ (z, z) $ bevat. Ze stellen niet een existentiële conclusie op punten zoals compactheid zou zijn (bijv. Elk ultrafilter convergeert naar sommige punt), wat bijkomende punten zou vereisen wanneer men doorgaat naar de reflectie , om van een dergelijk bestaan ​​te getuigen. Het lijkt dus een nuttig criterium voor quotiënt-reflectiviteit voor concrete categorieën van modellen dat de volledige subcategorie wordt gedefinieerd door extra universeel gekwantificeerde vergelijkende voorwaarden in de taal die wordt gebruikt om de omgevingscategorie te specificeren, net als in de algebraïsche voorbeelden hierboven.

(Trouwens, ik interpreteer 'quotient' als 'gewone epi', dat wil zeggen, een kaart die de coequalizer is van zijn eigen kernelpaar en ik interpreteer 'subcategorie' hier als 'volledige subcategorie', zoals gebruikelijk bij het bespreken van reflecterende subcategorieën. Ik weet niet zeker of ik nu een meer abstract onzinantwoord kan geven, maar dit zou een bruikbare reeks voorbeelden moeten geven.)

3
toegevoegd