Een vraag over groepsactie over algebra's

Laat $ G $ een eindige groep zijn die handelt op een associatieve $ k $ -algebra met eenheid ($ k $ algebraïsch afgesloten van karakteristieke nul). De actie heet ergodic als $ A ^ G = \ {a \ in A | g \ cdot a = a, \ forall g \ in G \} = k $.

Iedereen kent een voorbeeld van een niet-semisimple eindige dimensionale algebra met een ergodische actie van een eindige groep?

2

2 antwoord

Laat $ A = k [x, y]/(x ^ 2, xy, y ^ 2) $ en laat de generator van de twee-elementengroep handelen met $ x \ mapsto -x $, $ y \ mapsto -y $ .

Meer in het algemeen, neem een ​​eindige groep handelend op $ R = k [x_1, \ dots, x_n] $ met invariante subring $ S = k [f_1, \ dots, f_m] $, en stel $ A = R/(f_1, \ in punten, f_m) $.

8
toegevoegd

Nog een voorbeeld: laat $ V $ een eindige dimensionale representatie van G zijn, zodat $ V ^ G = 0. $ Dan kun je semi-direct productalgebra $ A = k [G] \ oplus V, $ waar $ V ^ 2 = 0 $ en $ g \ cdot v = gv, g \ in G, v \ in V. $

2
toegevoegd
Hoe wil je dat $ G $ handelt?
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Je hebt gelijk, mijn antwoord was onjuist.
toegevoegd de auteur Evan, de bron