Echte analyse heeft geen toepassingen?

Ik geef dit najaar een cursus undergrad in echte analyse en we gebruiken de tekst "Real Mathematical Analysis" van Charles Pugh. Op de achterkant staat dat echte analyse geen "toepassingen op andere wetenschapsgebieden impliceert, geen. Het is pure wiskunde." Dit lijkt een valse verklaring. Mijn eerste gedachte was van de kansrekening. En wordt PDE's soms niet beschouwd als toegepaste wiskunde? Ik vroeg me af wat anderen van deze verklaring vonden.

13
De hele paragraaf: "Was vliegtuiggeometrie jouw favoriete wiskundecursus op de middelbare school? Vond je het leuk om stellingen te bewijzen? Ben je het beu om integralen te onthouden? Als dat zo is, kan echte analyse je kopje thee zijn. In tegenstelling tot calculus en elementaire algebra, impliceert noch formulemanipulatie noch toepassingen op andere gebieden van de wetenschap. Geen. Het is pure wiskunde en het zal zeker een beroep doen op de ontluikende zuivere wiskundige. " Dit is vrij duidelijk een verkooppraatje gericht op intelligente studenten die calculus underwhelming vonden. Ik zou er niets meer in lezen dan dat.
toegevoegd de auteur kevtrout, de bron
Ik heb net de MathSciNet-beoordeling (van Sherif T. El-Helaly) van Pugh's boek gecontroleerd. Het is overweldigend positief, behalve: "De enige tekortkoming van het boek is het voorwoord, het is te kort (zes regels) en bevat geen begeleiding voor de instructeur."
toegevoegd de auteur kevtrout, de bron
Meer uit de MathSciNet-zoekopdracht: C.C. Pugh heeft verschillende papers geschreven op het gebied van toegepaste analyse , meest recent een paper van 2005 Convex-dynamica en toepassingen . (Uit de review: "Sommige connecties van dit resultaat met het probleem van digitale halftoning en met het probleem met de voorzitterstoekenning worden opgeroepen.") Met betrekking tot de huidige aanklacht tegen Prof. Pugh over de beschuldiging dat die analyse geen toepassingen kent: I verplaatsen voor ontslag. Merk ook op dat het antwoord op de vraag in de titel duidelijk "False" is. Ik denk niet dat hier discussie of verdediging nodig is.
toegevoegd de auteur kevtrout, de bron
Als echte analyse geen toepassingen kent, hoe zit het dan met p-adic-analyse? :-)
toegevoegd de auteur John Topley, de bron
@Pete: Maar die alinea is ook de volledige inleiding van het boek. Ik wil ook niet de indruk wekken dat ik het boek niet leuk vind. Ik vind het eigenlijk heel leuk. Het valt op als een zachtere versie van Baby Rudin.
toegevoegd de auteur Jon Tackabury, de bron
@Mikael: zo komt het niet over, omdat het beweert over "echte analyse" en niet "echte wiskundige analyse". Maar ik denk dat Pete gelijk heeft dat het gewoon bedoeld is als een verkooppraatje voor een bepaalde groep studenten (en om het bezwaar van Josh te beantwoorden, voornamelijk een verkooppraatje in de figuratieve zin); en in ieder geval is het gevaarlijk om claims op de omslag van een boek te claimen als van toepassing op dat boek.
toegevoegd de auteur Grégoire Cachet, de bron
@ Pete, Victor: Het feit dat Dr.Pugh geen fysieke toepassingen in zijn tekst opnam in het hoofdstuk over gewone differentiaalvergelijkingen, was voor mij het meest teleurstellende en raadselachtige aspect van een verder prima studieboek voor sterke studenten. Waarom hij niet iets zou willen opnemen waar hij duidelijk een expert in is, is compleet verbluffend, vooral wanneer wiskundigen altijd proberen dit onderwerp te verkopen aan studenten in de fysische wetenschappen die zich afvragen waar ze in deze klas in hemelsnaam aan verspillen!
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
Mijn lezing van de alinea is eerder dat dit specifieke boek niet gaat over toepassingen buiten de wiskunde, en weinigen daarbinnen.
toegevoegd de auteur Bill, de bron
Pete: Wat een hypocriet! :)
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Greg: p-adic snaartheorie? :) Hier is een algemeen verschijnsel: toepassingen van eindige veldanalyse zijn er veel. Rationele analyse heeft irrationele toepassingen. Algebraïsche analyse handelt over transcendentale objecten. Echte analyse heeft geen echte toepassingen; complexe analyse heeft eenvoudige toepassingen; en zo verder door inductie op het veld.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Ik denk dat iemand Pugh niet schuldig vindt door te zeggen dat echte analyses toepassingen missen, omdat de alinea alleen zou kunnen betekenen dat wanneer je echte analyse doet, je geen applicaties doet. Dat betekent niet dat het er geen heeft.
toegevoegd de auteur Trimok, de bron
"Echte analyse heeft geen echte implicaties" klinkt beter. Het heeft wel elke tak van wiskunde, en die takken hebben invloed op aangebrachte benodigdheden buiten de wiskunde zelf ...
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron
Materiaal op de achterkant van de boeken is niet meestal geschreven, of goedgekeurd door de auteur. Er is dus geen reden om te geloven dat Pugh dit zei. De uitgever is verantwoordelijk voor de blurbs op de achterkant van het boek en meestal is het enige doel boeken te verkopen.
toegevoegd de auteur user104550, de bron

7 antwoord

Het toeval wil dat ik net een kwart van de niet-gegradueerde echte analyse heb geleerd. Ik ben geneigd de verklaring van Pugh opnieuw te formuleren in een vorm waar ik het mee eens ben. Als je de analyse breed beschouwt als zowel de stellingen van de analyse als de berekeningsmethoden (calculus), dan heeft het duidelijk een heleboel toepassingen. Ik geef echter de voorkeur aan het onderwijzen van echte analyses als zuivere wiskunde, meer in het bijzonder als een introductie tot rigoureuze wiskunde en bewijzen. Dit is gedeeltelijk als een correctief (of op zijn minst een aanvulling) op de meest toegepaste en algoritmische interpretatie van calculus die de meeste Amerikaanse studenten als eerste beschouwen.

Sommige wiskundigen denken, en ik ben vaak geneigd om te denken, dat het een slechte zaak is om twee keer een analyse te doen, eerst als algoritmische en toegepaste calculus en vervolgens als een rigoureuze analyse. Het kan verkeerd lijken om de rigoureuze opstelling niet te hebben. Nu ik heb gezien hoe BC Calculus er op een middelbare school uitziet, denk ik niet langer dat het een slechte zaak is. Vanzelfsprekend denk ik nog steeds dat de zuivere interpretatie belangrijk is. Aan de andere kant zijn beide interpretaties samen ook goed voor mij. Ik merk dat in Frankrijk calculuscursussen en analysecursussen allebei "analyse-wiskunde" worden genoemd. Ik denk dat ze een rigoureuze en niet-rigoureuze calculus een beetje minder kunnen scheiden dan in de VS, en dat zou deels kunnen komen door de naam.

In feite duurde het lang voordat ik me realiseerde hoe bepaalde niet-rigoureuze uitleg een goede grondige analyse leidde. De eenvoudige manier om de Jacobiaanse factor in een multivariate integraal af te leiden, is bijvoorbeeld om een ​​oneindig klein parallellepipedum te 'tekenen' en het volume te vinden. Dat is niet strikt op zichzelf, maar het is gerelateerd aan een belangrijke rigoureuze constructie, de buitenalgebra van differentiële vormen.

Ten slotte ben ik het ermee eens dat Pugh's boek geweldig is. Zoals het gezegde luidt, moet je het niet beoordelen aan de hand van de dekking. :-)

23
toegevoegd
@ Greg: uw claim betreffende monotoniciteit berust op enkele mogelijk optimistische aannames met betrekking tot de toekomst van geletterde beschaving.
toegevoegd de auteur ricree, de bron
Nou, het is de afgelopen paar honderd jaar monotoon geweest, wat er in de toekomst ook mag gebeuren.
toegevoegd de auteur John Topley, de bron
In 1748. Hoewel de wiskunde zich in een monotoon traject bevindt, lijkt het soms alsof het wiskundeonderwijs een voorperiodische baan heeft.
toegevoegd de auteur John Topley, de bron
Ik zou hieraan willen toevoegen dat we in Duitsland geen calculus en echte analyse hebben die niet echt gescheiden zijn of op zijn minst gescheiden zijn. We beginnen in het eerste semester met epsilon-delta-dingen en alles is formeel correct, maar meestal gebruiken we alleen de Riemann-integraal in de eerste twee semesters en introduceren we alleen metingen in het derde semester. Ik vermoed dat we meer rekenwerk doen op school dan op de gewone Amerikaanse middelbare school - tenminste, dat deden we toen we nog 13 jaar school hadden.
toegevoegd de auteur GavinR, de bron
Verbazingwekkend genoeg wordt in Euler's "Introductio in analysin infinitorum", voor het eerst gepubliceerd in 1748, hetzelfde punt over het tweemaal onderwijzen van analyse gedaan. In de eerste regel van het voorwoord schrijft Euler dat "de meeste moeilijkheden die studenten ondervinden van de oneindig kleine analyse het gevolg zijn van het feit dat ze, zodra ze elementaire algebra hebben geleerd, hun gedachten richten op deze hogere kunst", en bijgevolg nooit meester worden het. Een van de ideeën achter "Introductio" was om studenten comfortabel te maken met functies en krachtreeksen, algoritmisch voordat ze meer conceptuele onderdelen van de analyse opvatten.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Onnodig te zeggen dat een deel van het gepresenteerde materiaal verder gaat dan wat moderne wiskundigen gewoonlijk leren over het geminachte "calculus" gedeelte in $ \ textit {all} $ hun analysecursussen (inclusief differentiaalvergelijkingen en numerieke methoden). Ik hoorde erover van Varadarajan's artikel in het Bulletin een paar jaar geleden.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Greg, ik ben het volledig met je eens wat betreft BC-calculus. Ik nam BC-calculus op de middelbare school, en het was een geweldige ervaring. We hebben enkele van de meer rigoureuze details vermeden --- ik denk dat delta-epsilon bewijzen van continuïteit bijvoorbeeld volledig afwezig waren - maar ik denk dat ik nog steeds uit die cursus kwam met een goed begrip van de analyse. Ik begreep duidelijk het delicate samenspel tussen approximatie en fouttermen. Zodra delta's en epsilons kwamen, hoefde ik alleen het kader te begrijpen; de gereedschappen waren er al.
toegevoegd de auteur Vishwanath, de bron

Als we de hele paragraaf lezen zoals hierboven vermeld, is het duidelijk dat het heel anders is dan de titel van deze vraag. Zeggen dat "X-theorie geen toepassing in de techniek impliceert", betekent gewoon dat een X-theoreticus in haar werk geen gebruik maakt van hulpmiddelen of taal van ingenieurs, en dat ze als X-theoreticus zelfs engineering zou kunnen vergeten. Het betekent absoluut niet dat (i) de problemen van de X-theorie niet voortkwamen uit concrete technische problemen, noch dat (ii) de resultaten van de X-theorie geen toepassingen in de techniek hebben. Eigenlijk, aan de oorsprong van zelfs de meest abstracte wiskundige theorie, zijn er concrete problemen van toegepaste wetenschap (misschien na meerdere opeenvolgende stappen van abstracties), en ook zijn de uiteindelijke toepassingen weer terug in concrete problemen.

Abstractie (van abstractus : pp van abs + trahere : om (iets) mee te nemen) is het gebruikelijke proces door wie we de essentie van een probleem nemen om ons te focussen erop, niet om onszelf af te leiden (uit de weg te ruimen, hier en daar te nemen) door een andere niet-essentiële eigenschap ervan, en met het voordeel om eens en voor altijd verschillende in wezen vergelijkbare problemen op te lossen.

7
toegevoegd
Een ander belangrijk verschil is het werkwoord: het boek beweert dat analyse " betrekking heeft op [...] geen toepassingen", niet " heeft geen toepassingen". Het heeft veel toepassingen; het is alleen dat de wiskundige behandeling (en vermoedelijk het boek in kwestie) op zichzelf staat en niet afhankelijk is van of naar hen verwijst.
toegevoegd de auteur Pandincus, de bron

Ik denk dat buiten alle vakgebieden van de wiskunde analyse de MEESTE toepassing is. We hebben het over het onderwerp dat Newton heeft gemaakt om hier zelfs over fysica te kunnen praten!

7
toegevoegd
Ik sprak voor mezelf en had een geweldige cursus klassieke differentiële geometrie over curve en oppervlaktetheorie met John Terilla in Queens College.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
AMEN, Steven. Wat is er mis met jou 'puristen'? Ik huiver om de staat van zowel de topologie als de differentiaalmeetkunde te denken als je met hardliners de leiding had over wat aan wiskundestudenten wordt geleerd.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
Helaas weten de meeste natuurkundigen niet veel analyse. (Deze bewering is dubbelzinnig, zodat iedereen het erover eens zal zijn.)
toegevoegd de auteur Tom, de bron
Newton heeft calculus uitgevonden. Bolzano, Cauchy en Weierstrass (onder andere) bedachten analyse.
toegevoegd de auteur martinatime, de bron
Hmmm ... Ik dacht dat differentiële geometrie al geruime tijd uit het reguliere leerplan was (differentiable manifolds tellen niet als DG).
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Hoe definieer je calculus? Analyse? De ene heeft epsilons en de andere niet? Persoonlijk presenteerde mijn calculusleraar op de middelbare school zowel de epsilon delta-kant van de dingen als de zachtere "oneindig" gebaseerde benaderingen. Ik denk dat het ontzettend belangrijk is om beide kanten om me heen te hebben - en ik denk dat het beide analyses zijn.
toegevoegd de auteur enmapping, de bron

Hoewel ik het ermee eens ben dat de paragraaf grotendeels een verkooppraatje is, denk ik dat het op iets anders is terechtgekomen. Er staat dat echte analyse geen toepassingen met andere wetenschap inhoudt. Ik bedoel hiermee dat wanneer je een echte analyse doet (of erin studeert in een eerste cursus) je niet kijkt naar toepassingen voor de wetenschap. Dit staat in contrast met calculas, terwijl veel van de problemen in calculusboeken gericht zijn op allerlei problemen van de klassieke mechanica en andere gebieden.

Nog een laatste opmerking. Ik denk dat Pugh's boek geweldig is, de beste undergrad-analysetekst die er is. Vooral vanwege het ENORME aantal zeer goede problemen.

6
toegevoegd
@yanzhang Dan is het tijd om tegen deze trend in te gaan met teksten als Zorich en Estep. Waarom dit soort Borbakiaans purisme zo vaak voorkomt, is moeilijker te zeggen. Ik denk dat het vooral een soort modieuze academische snobisme is: "Vuile mijn mooie bewijzen niet met je natuurkunde!" Alsof het cool is om onwetend te zijn van wiskunde voorbij de structuren. Dit komt erop neer dat je zegt dat je de structuur van muziek hartstochtelijk wilt bestuderen en de definitieve verhandeling over pentameter wilt schrijven, maar je bent er trots op dat je doof bent en geen noot kunt spelen! Het is gek voor mij.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
Ik ben het eens met wat u zei, maar ik vind het verontrustend dat dit "geen applicaties hebben" ding bedoeld is als deel van het verkooppraatje, alsof dit het hele onderwerp beter maakt. Het maakt me nog steeds een beetje rillend, omdat ik nooit dacht dat mensen zo zouden denken, maar als ik de verontschuldiging van een wiskundige lees en praat met wiskundigen van jong en oud in de afgelopen paar jaar, heb ik me laten zien dat ze het echt doen.
toegevoegd de auteur Yan X Zhang, de bron

Ik heb een goed niet-uitgewerkt analyseboek, "Real Analysis with Real Applications," door Kenneth R. Davidson en Allan P. Donsig. Het boek is verdeeld in twee delen. Deel A gaat over 'Abstracte analyse', die theorie, bewijzen, voorbeelden en problemen bevat die te vinden zijn in de meeste niet-uitgewerkte analyseboeken. Deel B behandelt "Toepassingen" die polynomiale benaderingen, discrete dynamische systemen, diff omvatten. eqns, fourier-series en fysica, wavelets en optimalisatie.

4
toegevoegd

De opmerking op de achterkant van het boek lijkt te zeggen: "Dit is een wiskundeboek." Het zegt in het bijzonder niets over analyse. Voor zover het boek pure wiskunde is, is het geen boek over natuurkunde, tuinbouw of sociologie. Maar wat dan? Je zou hetzelfde kunnen zeggen over elk wiskundig gebied.

Dit lijkt bijzonder vreemd om over analyse te zeggen, omdat het zo rechtstreeks op andere gebieden kan worden toegepast.

2
toegevoegd

@ Pete, Victor en Greg: Ten eerste ben ik het eens met uw interpretatie van de alinea waar Greg naar verwijst.   Ten tweede, ondanks het feit dat ik het boek van Pugh liefheb - ik noem het "Rudin Done Right" - was ik ook erg teleurgesteld over het zeer beknopte voorwoord. Je zou denken dat iemand met Pugh's leservaring veel te zeggen had over het onderwerp dat zoveel jaren had onderwezen naar enkele van de beste studenten ter wereld.   Ten derde - ik betwijfel serieus of een van 's werelds experts op het gebied van differentiaalvergelijkingen denkt dat echte analyse geen echte toepassingen kent. Maar dat dwingt mensen die deze cursus onderwijzen om het tot Bourbakiaanse zuiverheid te stropen? Traditie? Of iets donkerder en dieper?   Ik wacht op een evenwichtige tekst op dit niveau die fysieke applicaties verenigt met een uitgebreide introductie tot echte analyse. Als het nooit aankomt, moet ik het misschien zelf schrijven.

1
toegevoegd
@Scott SIGH.Ik geef het op.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
@Scott: mijn antwoord was te lang voor het commentaargedeelte. De volgende keer zal ik het in stukken breken.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
@ Victor Absoluut - meer recent is het 2-volume-epos van Zorich nu beschikbaar in het Engels. Helaas krijgt het niet de aandacht die het verdient.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
Beantwoord alstublieft geen antwoorden met een ander antwoord. Het is beter om het commentaarsysteem te gebruiken.
toegevoegd de auteur Jarrod Dixon, de bron
@Andrew, het zou beter zijn om deze te bewerken om in een commentaarvak te passen. De tekenlimiet is genereus en als u verder moet gaan, zou u een zeer goede reden moeten hebben. Dit is een softwarelimiet die voor een goed doel bestaat.
toegevoegd de auteur Jarrod Dixon, de bron
Andrew: Voor het geval je het nog niet weet, is er een rijke Russische traditie van dergelijke teksten, bijv. De cursussen van Fichtenholz en Smirnov springen voor de geest.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron