Hoe te bewijzen dat een projectieve variëteit een eindig CW-complex is?

Laat $ X $ een (enkelvoudig) projectieve variëteit zijn, met andere woorden iets gegeven door een verzameling polynomiale vergelijkingen in $ \ mathbb CP ^ n $ of $ \ mathbb RP ^ n $. Hoe bewijst iemand dat het een eindig $ CW $ complex is?

Vergelijkbare vraag. Stel dat $ X $ affine (d.w.z. gegeven door polynomiale vergelijkingen in $ \ mathbb C ^ n $, of $ \ mathbb R ^ n $). Hoe bewijst iemand dat zijn compactisering met één punt een eindig $ CW $ -complex is?

Deze vragen zijn het vervolg op de discussies hier:

Voor welke klassen van topologische ruimten zijn de Euler-kenmerken gedefinieerd?

7
toegevoegd de auteur sickgemini, de bron
Vooral mijn antwoord :)
toegevoegd de auteur sickgemini, de bron
Misschien wil je ook naar de paper van Hironaka kijken: "Triangulations of Algebraic Sets", p. 165-185, in de procedure van de 1974 AMS Arcata conferentie in algebraïsche algebraïsche meetkunde. Het doel van het artikel is juist om een ​​simpele demonstratie te geven van een feit dat "iedereen weet", maar waarvan bekend is dat het moeilijk is.
toegevoegd de auteur Linas, de bron

1 antwoord

De stelling van Lojasiewicz zegt dat elke semi-algebraïsche subset van $ \ mathbf {R} ^ n $ kan worden trianguleerbaar. Bovendien is er een vergelijkbare verklaring voor paren van de vorm (een semi-algebraïsche set, een gesloten subset). Zie b.v. Hironaka, Triangulations of algebraic sets, Arcata proceedings 1974 en referenties daarin (inclusief het originele artikel van Lojasiewicz).

Het geval van een willekeurige (niet noodzakelijk quasi-projectieve) complexe algebraïsche variëteit volgt uit de stelling van Nagata (elke variëteit kan worden voltooid) en het lemma van Chow (elke volledige variëteit kan tot een projectieve worden opgeblazen).

9
toegevoegd
Algori, bedankt! Hoe zit het met éénpuntsverdichting? Hoe laat je zien dat dit een finit CW-complex is?
toegevoegd de auteur RodeoClown, de bron
Dit is niet zo moeilijk - neem een ​​voltooiing en trianguleer het resulterende paar. Als $ K $ een subpolyhedron is van een veelvlak $ K $, dan kan $ K/L $ ook trianguleerbaar zijn.
toegevoegd de auteur algori, de bron
Dat wil zeggen, als $ L $ een subpolyhedron is ...
toegevoegd de auteur algori, de bron