Oneindige hermitische matrix

Stel dat we een eindige vierkante n x n matrix van complexe getallen H hebben die Hermitiaans en skew-symmetrisch is:

$ H ^ \ dagger = H $ en $ H ^ T = -H $.

(T staat voor transponeren, $ \ dolk $ staat voor geconjugeerde transponering. Ik weet dat deze voorwaarden betekenen dat H een zuiver denkbeeldige skew-symmetrische matrix is.)

Het is een tekstboekresultaat dat deze twee voorwaarden ervoor zorgen dat de eigenwaarden echt zijn, dat de rangorde gelijk is en dat de eigenwaarden ervan in positieve en negatieve paren verschijnen.

Als de genormaliseerde, orthonormale eigenvectoren geassocieerd met niet-nul eigenwaarden worden aangegeven met $ u_i $ en $ v_i $ en de positieve eigenwaarden worden aangeduid met $ \ lambda_i $ dan hebben we:

$ H u_i = \ lambda_i u_i $ en $ H v_i = - \ lambda_i v_i $

waarbij i = 1,2, ..., s waar 2s de rangorde heeft van H. De eigenvectoren kunnen worden gekozen als complexe conjugaten van elkaar: $ u_i = v_i ^ * $.

In termen van deze eigenvectoren en eigenwaarden kunnen we de eigen-ontbinding van H schrijven als:

$ H = \ sum_ {i = 1} ^ s \ lambda_i u_i u_i ^ \ dagger - \ lambda_i v_i v_i ^ \ dagger $

We kunnen nu een nieuwe matrix Q definiëren als alleen het "positieve eigenwaardedeel" van H:

$ Q: = \ sum_ {i = 1} ^ s \ lambda_i u_i u_i ^ \ dagger $

Deze Q is Hermitisch, positief semi-definitief en voldoet aan $ H = Q - Q ^ T = Q - Q ^ * $. Blijkbaar is deze Q ook de 'dichtstbijzijnde Hermitiaanse positieve semi-definitieve matrix' voor H, zoals gemeten in de Frobenius-norm (en mogelijk ook andere normen).

Dit gaat allemaal soepel door voor eindige n x n matrices H.

My question is, if H is now a countably infinite dimensional matrix $H_{xy}$ for x,y=1,2,...,$\infty$ which satisfies the same conditions as before:

$ H_ {xy} = H_ {yx} ^ * $ en $ H_ {xy} = -H_ {yx} $

kunnen we dezelfde constructie uitvoeren en de matrix Q verkrijgen?

Het lijkt erop dat de rigoureuze manier om dit te doen de oneindige matrix als een operator op de $ \ ell ^ 2 $ Hilbert-ruimte van oneindige vierkante-summabele sequenties behandelt. Voor generaal H lijkt dit een onbegrensde operator te zijn die waarschijnlijk niet is gedefinieerd in de hele Hilbert-ruimte (vanwege convergentieproblemen bij het doen van de oneindige matrixvermenigvuldiging).

In het beste geval zouden we willen dat H een self-adjoint-operator definieert op $ \ ell ^ 2 $. We zouden dan (vermoedelijk) de spectrale stelling kunnen toepassen en het positieve eigenwaardedeel optellen om een ​​Q-operator/oneindige matrix te krijgen.

Welke voorwaarden moeten we opleggen aan de oneindige H-matrixinvoeringen om ervoor te zorgen dat de Q-matrix bestaat? of om ervoor te zorgen dat H een zelfstandige operator definieert?

Kunnen we het gebruik van de eigenvectoren en eigenwaarden omzeilen bij het definiëren van Q en Q in plaats daarvan zoeken naar de "dichtstbijzijnde positieve semi-definitieve matrix" naar H? Is dit zelfs logisch in de oneindige matrix?

Kunnen we Q uit H berekenen als H voldoet aan de juiste voorwaarden?

Alle gedachten worden enorm op prijs gesteld.

2

3 antwoord

Het antwoord is "ja", op voorwaarde dat u van $ H_ {x, y} $ een goede self-adjoint-operator kunt maken. De skew-symmetrische structuur die u noemt, is eigenlijk vrij natuurlijk in sommige contexten. In de kwantummechanica vertegenwoordigt complexe conjugatie meestal de tijdomkeer-symmetrie. De structuur hier omvat drie dingen: een Hilbert-ruimte, een conjugatie $ J $ op de Hilbert-ruimte en een symmetrische operator $ H $. Uw Hilbert-ruimte is $ \ ell ^ 2 $ en de conjugatie $ J $ is $ J \ psi = \ overline {\ psi} $ waarbij $ \ overline {\ psi} $ complexe conjugatie is. (Merk op dat $ J $ een echte lineaire operator is, maar is een complexe "skew" lineair die $ J \ alpha \ psi = \ overline {\ alpha} J \ psi $ is voor een scalaire waarde $ \ alpha $.)

To begin suppose that the symmetric operator $H$ defines a bounded operator. That is suppose $$H \psi(x) = \sum_{y} H_{x,y}\phi(y),$$ makes sense for all $\psi \in \ell^2$ and there is a $C <\infty$ such that $\|H\psi\|_2 \le C \|\psi\|_2$. Your assumption of skew-symmetry for $H$ shows that $$ JHJ = -H.$$ It follows that $J p(H) J= \overline{p}(-H)$ for any polynomial $p$, where $\overline{p}$ is the polynomial with conjugate coefficients. (To see this it helps to note that $J^2=1$.) It follows then that $$ Jf(H)J=\overline{f}(-H)$$ for any continuous function $f$, with $f(H)$ defined by the functional calculus. Now we can define $Q$, namely $$ Q = g(H)$$ where $g(x)= x$ for $x >0$ and $g(x)=0$ for $x\le 0$. Note that $Q$ is positive, $Q$ and $JQJ$ have orthogonal ranges, and $$ H= Q - JQJ.$$

However, $H$ as defined above may or may not make sense on the whole Hilbert space. As Jiri Lebl pointed out we must at least assume that $$ \sum_{x} |H_{x,y}|^2 <\infty$$ for each $y$. Then we may certainly define an operator on the space $C_f$ of sequences with finite support. Let us call this operator $H_f$ to remind ourselves that is defined on $C_f$. To apply the functional calculus to get $Q$ we need a self-adjoint extension $H$.

De voorwaarde voor het bestaan ​​van een zelfstandige extensie is $$ \ dim \ ker (H_f ^ \ dagger + i) = \ dim \ ker (H_f ^ \ dagger -i) $$ waar $ H_f ^ \ dolk $ is de adjoint: $$ (H_f ^ \ dagger \ phi, \ psi) = (\ phi, H_f \ psi) $$ op het domein $ \ mathcal D ^ \ dagger $ van sequences $ \ phi $ dusdanig $ | (\ phi, H_f \ psi) | \ le C \ | \ phi \ | $. Als deze voorwaarde geldt, moet je nu een self-accompoint-extensie $ H $ kiezen en deze zorgvuldig selecteren, zodat die $ J H J = -H $ is, en ga dan verder zoals in het geval van de limiet. (De extensie is alleen uniek als beide dimensies $ 0 $ zijn.) Ik ben niet op de hoogte van een algemene voorwaarde in termen van $ H_ {x, y} $ voor het bestaan ​​van een self-adjoint extensie, maar er is een leuk recensie-artikel van Bary Simon uit de late jaren 90 waarin hij, onder andere, analyseert onder welke omstandigheden tri-diagonale matrices ("Jacobi-matrices") zelf-bijvoeglijke extensies hebben en wanneer ze uniek zijn.

2
toegevoegd

Geen echt antwoord, maar een verzameling van verschillende opmerkingen.

  1. De "skew-symmetric" -voorwaarde is niet echt natuurlijk voor een operator op een complexe Hilbert-ruimte, omdat deze niet wordt behouden door unitaire transformaties.

  2. Heb je een verwijzing naar de stelling dat Q de Hermitiaans positieve semidefinietmatrix is ​​met de H in Frobenius-norm? Hangt dit op een essentiële manier af van het feit dat H asymmetrisch is?

  3. De constructie "positief deel" zou van toepassing zijn op elke (mogelijk onbegrensde) zelfstandige operator, met behulp van een geschikte versie van de spectrale stelling; zelftoegevoegde operatoren kunnen in een bepaalde algemene betekenis worden "gedigitaliseerd". (Eén versie zegt dat, tot een unitaire transformatie, je Hilbert-ruimte $ L ^ 2 (X, \ mu) $ is voor een beetje ruimte $ (X, \ mu) $, en je operator vermenigvuldigd is met een aantal echt-gewaardeerde functioneer $ h $ op $ X $. Dus het positieve gedeelte komt overeen met vermenigvuldiging met het positieve deel van $ h $.)

  4. Ik ben niet op de hoogte van een voorwaarde voor de vermeldingen van een oneindige matrix die gelijkwaardig is aan het feit dat de corresponderende operator zelfassistent is (hoewel ik graag zou willen weten of dit het geval is). Zelfbijwoning is over het algemeen een redelijk delicaat bezit; het vereist dat het domein van de operator niet te groot noch te klein is.

  5. Je zou zeker naar de dichtstbijzijnde positieve semidefiniete Hermitische operator kunnen zoeken voor een bepaalde, met betrekking tot een of andere norm. Je beperkt je echter tot die operatoren waarvoor die norm eindig is. De Hilbert-Schmidt-norm kan natuurlijk zijn omdat deze de Frobenius-norm generaliseert; de exploitantnorm is een andere keuze. De positieve semidefiniete Hermitische operators zijn volgens beide normen gesloten, dus op zoek naar een 'dichtstbijzijnde' is logisch. Ook zijn Hilbert-Schmidt-operators, die compact zijn, in de meer gebruikelijke zin diagonaliseerbaar (er is een orthonormale basis van eigenvectoren).

1
toegevoegd
De referentie dat Q de dichtstbijzijnde Hermitiaanse positieve semidefinietmatrix is ​​voor H is Theorem 9, p324 in "The electrical engineering handbook" door Richard C. Dorf beschikbaar here books.google.co.uk/… ;. Ik ben geen elektricien, ik kwam deze referentie net tegen op google. De skew-symmetrische eigenschap is niet expliciet nodig, alleen het feit dat H Hermitiaans is (het "negatieve deel" is dan de dichtstbijzijnde Hermitiaanse negatieve semi-definitieve matrix voor H).
toegevoegd de auteur shmuelp, de bron

Zie de Thehair of Linear Operators van Akhizer en Glazman in Hilbert Space (goedkoop als een dover-boek). Zie met name sectie 47 over onbegrensde operatoren (en 26 voor de overal gedefinieerde compacte behuizing). Ik raak de scheefgetrokken symmetrie niet aan, ik zal alleen antwoorden op de toepassing van de zelftoekenning en de spectrale stelling in $ \ ell ^ 2 $.

Dus ik ga ervan uit dat de matrix $ H $ geconjugeerd symmetrisch is (Hermitiaans).

1) Als de ingangen in de matrix vierkant sommeerbaar zijn (voldoende maar niet noodzakelijk), definieert $ H $ een overal gedefinieerde compacte self-adjoint-operator op $ \ ell ^ 2 $. Je kunt de spectrale stelling toepassen en alles is geweldig. Dan hoef je je alleen maar zorgen te maken om dat scheve symmetraliteit. Zie pagina 53 voor een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de matrix om een ​​begrensde operator te definiëren.

2) (Stelling 4 op pagina 102) Als de kolommen van de matrix vierkante optelbaar zijn, definieert $ H $ een gesloten zelfbijhankelijke operator. Echter: de matrix transformeert niet natuurlijk onder unitaire operatoren. Dat wil zeggen, als u een unitaire matrix neemt en het product formeel "doet", kan de nieuwe matrix geen operator definiëren en zelfs als het een operator definieert, kan het een andere operator blijken te zijn dan wanneer u de operators samenstelt. Dus elke vorm van formele manipulatie van deze matrix is ​​precies dat. Ze komen niet noodzakelijk overeen met dezelfde bewerkingen in $ \ ell ^ 2 $. Daarom is het onwaarschijnlijk dat u Hilbert-ruimtetheorie-resultaten op de matrices kunt toepassen.

3) Als de kolommen van de matrix niet vierkant samenvouwbaar zijn, is er helemaal geen hoop op het gebruik van Hilbert-spaties.

1
toegevoegd
Stelling 4 op pagina 102 zorgt ervoor dat de oneindige matrix een gesloten symmetrische operator definieert. Er is geen reden voor de operator om zichzelf te bevoorraden zonder extra aannames.
toegevoegd de auteur DavidM, de bron