Eenvoudige voorbeelden van homotopie colimits

Ik volg de expliciete constructie van homotopie colimits zoals beschreven door Dugger in de paper: "Primer op homotopie colimits", die hier te vinden is: http://www.uoregon.edu/~ddugger/hocolim.pdf Zoals beschreven in de appendix van Topologische hypercovers en A1-realisaties, Mathematische Zeitschrift 246 (2004) in de categorie van topologische ruimten is geen cofibrant-vervangende functor nodig bij het berekenen van de homotopie colimit van een klein diagram in $ \ mathcal {T} op $ .

Voor de indexcategorie $ \ mathcal {I} = \ cdot \ rechtsdraaiende schijven \ cdot $ en een klein diagram $ D: \ mathcal {I} \ rightarrow \ mathcal {T} op $ met de afbeelding $ X \ rechttrekkers Y $ waar $ f, g: X \ rightarrow Y $ dit levert de spatie $ T: = (X \ times \ nabla ^ 0 \ amalg Y \ times \ nabla ^ 0 \ amalg X_g \ times \ nabla ^ 1 \ amalg X_f \ times \ nabla ^ 1)/\ sim $ waar $ \ sim $ wordt gegeven door: $ (x, 1) \ sim (x, (0,1)) \ in X_f \ times \ nabla ^ n, X_g \ times \ nabla ^ n $, $ (f (x), 1) \ sim (x, (1,0)) \ in X_f \ times \ nabla ^ n $ en $ (g (x), 1) \ sim (x, (1,0)) \ in X_g \ times \ nabla ^ n $ voor alle $ x \ in X $.

Notatie: $ \ nabla ^ n $ is de topogische n-simplex, $ X_f $ en $ X_g $ zijn slechts kopieën van X geïndexeerd door een kaart in het diagram om alle identificaties bij te houden

1) Zijn er vereisten voor $ T $ om homotopie-equivalent of zwak homotopie equivalent aan $ colim _ {\ mathcal {I}} {D} $ te zijn?

2) Wat zijn de vereisten voor een homotopie-pushout om homotopie of zwak homotopie te zijn die gelijk is aan de gewone pushout?

3) Wat zijn de vereisten voor een homotopie colimit van een klein diagram uit de categorie verkregen uit de preorder $ (\ mathbb {N}, \ leqslant) $ tot $ \ mathcal {T} op $ om homotopie of zwak homotopie-equivalent te zijn naar de oneindige mapping-telescoop zoals beschreven in Paragraaf 3F (pagina 312) in het boek over algebraïsche topologie door Hatcher?

Omdat ik amper enige theorie over een modelcategorie ken, zou ik alle elementaire antwoorden op dit waarderen! Dank u zeer!!

3
Ik gok dat met "$ \ nabla ^ n $", je bedoelt de topologische $ n $ -simplex (die mensen meestal $ \ Delta ^ n $ schrijven). En dat "$ X_f $" en "$ X_g $" eigenlijk slechts kopieën van $ X $ zijn. Is dat juist?
toegevoegd de auteur Patrick McElhaney, de bron
Is dit niet de juiste instelling voor deze modelcategorietheorie (of op zijn minst voor een soort van setup waarbij je categorieën hebt met zwakke equivalenten?
toegevoegd de auteur martinatime, de bron
Nou, je hebt waarschijnlijk gelijk, maar mijn supervisor wil niet dat ik de modelcategorietheorie gebruik, omdat we de modelcategorieën niet in een college hebben behandeld en dus zou het vrij lang duren om de taal te ontwikkelen en alles te behandelen wat nodig is.
toegevoegd de auteur Michael Gilbert, de bron
Ja je hebt gelijk! Dank je!
toegevoegd de auteur Michael Gilbert, de bron
Ik zou niet lastig gevallen worden door Harry; terwijl modelcategorieën een van de meer algemene instellingen is om homotopie-colimieten te begrijpen, is de theorie van homotopiekolommen in modelcategorieën geïnspireerd op de theorie voor topologische ruimten. Dus begin je sowieso historisch gezien de eerste plaats. En een voorbeeld (zelfs een groot voorbeeld als dit) is vaak een goede manier om een ​​algemene theorie onder de knie te krijgen.
toegevoegd de auteur Allison Smith, de bron

2 antwoord

Hier is een antwoord op vraag 2: Een voldoende voorwaarde voor $ \ mathrm {colimit} (X \ leftarrow A \ rightarrow Y) $ om zwak gelijkwaardig te zijn aan de homotopy colimit, is (a) voor een van de kaarten (zeg $ A \ naar X $) om de homotopiextensie-eigenschap te hebben. Een andere voldoende voorwaarde is dat het diagram $ (X \ linkerpijl A \ rechtsreeks Y) $ is (b) een "excisieve triade". Neem een ​​kijkje in hoofdstuk 10, sectie 7 van de maand mei "Consise Course", waar (b) is bewezen als een voldoende conditie. Je kunt laten zien dat (a) een voldoende voorwaarde is door direct te tonen dat het een homotopie is die gelijk is aan de dubbele toewijzingscilinder $ X \ cup A \ times \ Delta ^ 1 \ cup Y $, die opnieuw geanalyseerd kan worden als een "excisive" triade".

7
toegevoegd

Re-homotopy-pushouts: deze worden ook geanalyseerd in het hoofdstuk over Cofibraties in mijn boek Topologie en groepsoïden (2006).

Deze ideeën van homotopie-colimieten zijn ook nuttig in de groepentheorie. U kunt bijvoorbeeld de klaver groep T vervangen die de presentatie heeft met generatoren $ x, y $ en relatie $ x ^ 2y ^ {- 3} $ door de klaver groep $ T '$ die twee objecten $ 0,1 $ heeft, een generator $ x $ bij $ 0 $, een generator $ y $ bij $ 1 $, een pijl $ \ iota: 0 \ tot 1 $ en een relatie $ y ^ 3 \ iota = \ iota x ^ 2 $. Dit komt overeen met de fundamentele groupoïde op 2 basispunten van een dubbele mappingcilinder van kaarten $ S ^ 1 \ tot S ^ 1 $, wat `beter 'is dan de gewone pushout van deze kaarten, want dat is niet Hausdorff.

2
toegevoegd
Een ander punt over het gebruik van homotopie colimits in de uitbreiding van groep naar groepoïde theorie is dat in het bovenstaande voorbeeld van de klaverbladegroep, $ T '$, de kaart $ \ {x, y \} \ tot T' $ is injectief, net als in het topologisch model van de dubbele cartografische cilinder, zijn er twee 1-cellen die overeenkomen met de generatoren. Dit type gebruik van groupoïden werd mij lang geleden gewezen door Eldon Dyer.
toegevoegd de auteur Ghanima, de bron