Geometrische verbeelding van differentiële vormen

Om aan niet-experts uit te leggen wat een vectorveld is, beschrijft men meestal een toewijzing van een pijl aan elk punt in de ruimte. En dit werkt ook best goed bij het bewegen naar spruitstukken, waarbij een gegenereerde pijl een raakvector zal zijn.

Mijn vraag is: Wat zijn vergelijkbare objecten die kunnen helpen bij het voorstellen van differentiële vormen?

Positieve eigenschappen voor een dergelijk object zijn bijvoorbeeld:

  • het helpt wijzigen-van-coördinaatformules en -formules te rechtvaardigen voor het terugtrekken via een functie;
  • het is "gemakkelijk aantrekbaar";
  • het helpt meer ingewikkelde op differentiaalvorm gebaseerde concepten te begrijpen, bijvoorbeeld verbindingen, cohomologiegroepen, enz.
26
toegevoegd de auteur Paŭlo Ebermann, de bron
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
n-vorm definieert een volume-element en oriëntatie op een n-dimensionale variëteit.
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron
@Steve Huntsman: Bedankt voor de link!
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron

14 antwoord

De $ k $ -formulieren die het gemakkelijkst te beschrijven zijn, zijn die met $ k \ in \ {0,1, n-1, n \} $. Een 0-vorm op een $ n $ -manifold is een functie. Een 1-vorm op een $ n $ -manifold, als je het in $ n + 1 $ dimensies bedenkt, is als een arrangement van shingles op een dak: op elk punt van het spruitstuk definieert het een directionele helling, die als andere mensen hebben gezegd, is hetzelfde als een dubbele vector op tangens. Een $ n $ -vorm is een dichtheid, dat wil zeggen een entiteit die u kunt integreren over het spruitstuk. En een $ (n-1) $ -vorm is een flux (zoals bijvoorbeeld het beschrijven van olie die uit een put komt): op elk punt heeft het een nul-tangensrichting en wijst het een niet-nulvolume toe aan elke doorsnede .

Natuurlijk kun je elke $ k $ -vorm zien als een $ k $ -dimensionale flux, en voor algemene waarden van $ k $ kun je net zo goed. Maar wanneer $ k $ 1 of $ n-1 $ is, is het enigszins eenvoudiger om de voorwaarde te visualiseren dat het formulier is gesloten. Een 1-vorm wordt gesloten wanneer de gordelroos plaatselijk in elkaar grijpen als de helling van een glad dak, d.w.z. de vorm is lokaal integreerbaar. Een $ (n-1) $ - vorm wordt gesloten wanneer de flux plaatselijk conservatief is, wat bijvoorbeeld het geval is met vloeistofstroming. Stelling: Een gesloten, niet-nul $ (n-1) $ - vorm komt overeen met een 1-dimensionale foliatie met een transversale volumestructuur.

De reden dat andere waarden van $ k $ moeilijker zijn, is dat terwijl je een volledig analoge algebraïsche integreerbaarheidstoestand krijgt wanneer het formulier gesloten is, je misschien niet dezelfde soort geometrische integrabiliteit krijgt. Een niet-nul 1-formulier heeft een $ (n-1) $ -dimensionale kernel op elk punt. (Hoewel de visualisatie die ik heb voorgesteld in $ n + 1 $ dimensies voorkomt, is het ook waar in $ n $ dimensies dat deze tangens hyperplanes in elkaar grijpen wanneer het 1-formulier wordt gesloten.) Een niet-nul $ (n-1) $ -vorm heeft een 1-dimensionale kernel op elk punt. Maar een $ k $ -form voor andere waarden van $ k $ heeft meestal geen kernel. (Oké, een maximale rang 2-vorm in oneven dimensies heeft ook een 1-dimensionale kernel en is equivalent aan een 1-foliëring met een transversale symplectische structuur.)

Ik heb de stelling gehoord dat alleen 1-formulieren en 2-formulieren goed zijn. (Nou, dat is een te hoog cijfer, maar ze zijn belangrijker dan de andere behalve misschien $ 0 $ en $ n $.) Symplectische vormen komen vooral veel voor, dus het is belangrijk om te proberen ze voor te stellen, hoewel ze per definitie heb geen kernels. Ik denk aan een symplectische vorm als een kalibratie voor een lokale complexe structuur. (Of een bijna complexe structuur, die misschien wel het enige is dat wereldwijd bestaat.) Dwz, tussen de verschillende raakvlakken van een symplectisch $ 2n $ -manifold hebben degenen die complexe lijnen zijn de grootste koppeling met de symplectische vorm, terwijl degenen die echte vlakken zijn, hebben een verdwijnende koppeling en het koppelingsminimum wordt bereikt door complexe lijnen met de verkeerde oriëntatie.


Nog een opmerking: het geometrische beeld van een foliëring met een transversale volumestructuur geldt voor gesloten $ k $ -vormen die ook niet-nul-eenvoudige vormen zijn (d.w.z. wigproducten van lineair onafhankelijke 1-vormen). Ik denk dat het een stelling is dat elke gesloten $ k $ -vorm lokaal een optelsom is van gesloten, eenvoudige $ k $ -vormen. Als dat klopt, dan is dat ook een manier om een ​​gesloten $ k $ -formulier te visualiseren, als een algebraïsche superpositie van volumere foliaties. $ k = 1 $ en $ k = n-1 $ zijn speciale gevallen waarin elk niet-nul formulier eenvoudig is.

15
toegevoegd
Ik heb de neiging de 'goedheid' van de $ 1 $ - en $ 2 $ -formulieren te interpreteren door te zeggen dat we $ k $ -forms voor $ k \ geq3 $ niet goed genoeg begrijpen: P
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Een "goede" opmerking: 2-vormen zijn krommingsvormen van een verbinding, dus ze zijn duidelijk heel belangrijk; hun uitwendige machten vertegenwoordigen hogere Chern-klassen, dus ze zijn ook belangrijk. 3-vormen komen ook van nature voor, er is bijvoorbeeld een canonieke invariante 3-vorm op elke compacte Lie-groep, gegeven door $ (X, Y, Z) \ mapsto K ([X, Y], Z) $ op het niveau van de Lie-algebra. J.-L. Brylinski schreef een heel boek dat integrale 3-vormen behandelt (3-krommingsvormen van gerbes).
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron

$ p $ -formaten zijn wat u kunt integreren in deelvariëteiten van dimensie $ p $. Hoewel dit misschien veel te effectief klinkt om een ​​ intuïtie te worden genoemd, zal het je behoorlijk ver brengen.

14
toegevoegd
Het heeft me geholpen toen ik me realiseerde dat $ p $ -formulieren daadwerkelijk zijn geïntegreerd in georiënteerde deelvariëteiten van dimensie $ p $, en die deelverwijzingen kunnen grenzen hebben.
toegevoegd de auteur Dr Mayhem, de bron

Als je naar het boek van Misner-Thorn-Wheeler, Zwaartekracht, kijkt, zie je heroïsche pogingen om afbeeldingen van differentiële vormen te maken. Maar ik denk dat dit misleid is. Niet alles kan direct als een afbeelding worden getekend.

Voor mij is een 1-vorm een ​​meetinstrument dat een eenheid van snelheid definieert voor een vectorveld. Zonder een $ 1 $ -form, is er geen natuurlijke manier om de lengte van een vectorveld of de snelheid van de integraalcurves te meten. Een 1-vorm is de eenvoudigste, gecoördineerde en vrije manier om dit te doen.

Hogere uiterlijke krachten van vectoren en vormen hebben overeenkomstige, maar meer uitgebreide verklaringen.

14
toegevoegd
Kan niet eerlijker zeggen!
toegevoegd de auteur brabster, de bron
Bovendien zijn de belangrijkste subklasse van 1-vormen de gesloten subsystemen, waarvan de integralen langs curves plaatselijk padonafhankelijk zijn. Als je een idee had van "snelheid" met deze eigenschap, zou de integraal een afstand moeten zijn. Vervolgens geeft een "gesloten snelheid" afstanden die lokaal padonafhankelijk zijn. Heel raar.
toegevoegd de auteur brabster, de bron
Een 1-formulier wijst zeker een nummer toe aan een vector, maar voor mij lijkt het enigszins misleidend om dit nummer te zien als de "snelheid" van de vector omdat "snelheid" niet lineair in de vector zou moeten zijn. Natuurlijk moet de snelheid lineair schalen met de vector. Maar het zou geen additief moeten zijn zoals een 1-vorm is. Twee vectoren die in tegenovergestelde richting wijzen, moeten dezelfde snelheid hebben, niet de tegenovergestelde snelheid. Een "snelheid" mag geen codimensie-1 hyperplane van vectoren in zijn kernel hebben. Enzovoorts.
toegevoegd de auteur brabster, de bron
zeer interessante uitleg .. dus een 2-vorm is [iets geven] een coördinaat-vrije manier om de snelheid van "diffusie van deeltjes" langs een [gegeven] tweedraads verdeling te meten, toch?
toegevoegd de auteur Prestaul, de bron
Zie ook W Burke's 'Applied Differential Geometry' voor prachtige foto's. Burke's foto's zijn in principe zorgvuldig doordachte, opgehelderde, verknipte versies van die in Misner-Thorne-Wheeler.
toegevoegd de auteur runeh, de bron
Welnu, de tweedimensionale analoog van een vectorveld is een veld van oneindig kleine parallellogrammen. Dus een 2-vorm is een instrument voor het meten van het oppervlak van zo'n oneindig klein parallellogram.
toegevoegd de auteur mreggen, de bron
Tim, je maakt een paar goede punten. Ik had niet alleen maar "snelheid" moeten zeggen. Het is een "directionele snelheid" maar in de volgende betekenis: stel je een stel gelijkmatig verdeelde geordende set parallelle vlakken in de ruimte voor en een voorwerp dat door de vlakken reist. De oriëntatie van de vlakken vertegenwoordigt de "richting" op een affiene invariante manier (d.w.z. zonder het begrip van hoek of het binnenproduct te gebruiken). Vervolgens kunt u meten hoe snel het object door de parallelle vlakken gaat. En aangezien de parallelle vlakken zijn geordend, kunt u ook een bord aan deze snelheid toewijzen.
toegevoegd de auteur mreggen, de bron

Een uit één vorm bestaande toewijzing aan elke vector die een veelvoud aan een spruitstuk toekent, op een lineaire manier. Je zou kunnen denken aan een vector die een spruitstuk raakt als bepaald door twee punten op het spruitstuk die "oneindig dichtbij" zijn, en daarom een ​​1-vorm bekijken als een functie van zulke oneindig kleine paren van punten naar de reële getallen. Deze analogie blijft bestaan ​​in hogere dimensies; een n-vorm is een manier om n-punten toe te kennen die onderling oneindig dichtbij een reëel getal sluiten (met de aanvullende aanname dat deze toewijzing antisymmetrisch is). Dit is meer dan een analogie. De technieken van synthetische differentiële geometrie maken een rigoureuze definitie van n-vormen op deze manier mogelijk en het kan worden bewezen om in lijn te komen met de klassieke definitie. De details zijn hier te vinden:

http://home.imf.au.dk/kock/van00.PDF

Anders Kock heeft veel van zijn artikelen op zijn website staan, waaronder enkele die het concept van connecties in deze taal verklaren. Het voordeel van de synthetische benadering is dat de definities lijken te rijmen met heuristische argumenten die vaak worden gebruikt om over deze objecten na te denken. Hier is de webpagina:

http://home.imf.au.dk/kock/

13
toegevoegd
De definitie van Koch spreekt van "het toewijzen van een getal aan oneindig kleine simplexen, zodat het getal nul is als de simplex twee samenvallende hoekpunten heeft" .. dit lijkt op een mooie definitie om te gebruiken voor cohomologie!
toegevoegd de auteur Prestaul, de bron

Terry Tao heeft een prachtig artikel in de PCM op differentiële vormen. Ik heb het er vaak over wanneer ik probeer een of ander concept te bedenken.

http://terrytao.wordpress.com/2007/12/25/pcm-artikel -differential-formulieren/

8
toegevoegd

Omdat je in de vraag alleen vectorvelden en geen multivectoren noemt, neem ik aan dat je alleen naar 1-vormen, niet naar hogere vormen vraagt: D

Nu voor 1-vormen is mijn persoonlijke meetkundige intuïtie-instrument voor 1-vorm dit: elke lineaire vorm $ \ varphi $ op een vectorruimte bepaalt een foliatie van de laatste in parallelle hyperplanes $ \ varphi ^ {- 1} (c) $. Noem het hyperplane $ \ varphi ^ {- 1} (0) $ the $ \ textrm {codirection} $ of $ \ varphi $ en noem de afstand tussen de hyperplanes $ \ varphi ^ {- 1} (0) $ en $ \ varphi ^ {- 1} (1) $ the $ \ textrm {colength} $ of $ \ varphi $. Het is duidelijk dat elke $ \ varphi $ op unieke wijze wordt bepaald door zijn codirection en colength.

Dan, net zoals een vectorveld specificatie is van een richting en van een lengte op elk punt, is een 1-vorm een ​​specificatie van een codirection en van een colength op elk punt.

Intuïtief, terwijl een vectorveld ons vertelt in welke richting te bewegen en met welke snelheid van elk punt, vertelt een 1-vorm ons parallel aan welk hypervlak om te blazen en met welke dichtheid op elk punt.

Dit is trouwens in overeenstemming met het feit dat verbindingen een affiene ruimte vormen die overeenkomt met de lineaire ruimte van 1-vormen. Een verbinding in deze termen is hetzelfde, behalve dat we niet specificeren welke van de hypervlakken de nul is: om een ​​codirection en een colength te specificeren, hoeft men geen hyperplane te specificeren, het is voldoende om de set parallelle hypervliegtuigen te kennen de verhouding van de afstand tussen $ \ varphi ^ {- 1} (c) $ en $ \ varphi ^ {- 1} (c ') $ en van $ c-c' $ voor een aantal verschillende $ c $ en $ c ' $. We kunnen dus een verbinding bekijken als een specificatie van een $ \ textrm {affine codirection} $ (dat wil zeggen, een klasse van parallelle hyperplanes) en van een $ \ textrm {affine colength} $, dat wil zeggen van een ratio zoals hierboven.

Ik geef toe dat dit geen wiskunde is, maar toen ging de vraag vooral over intuïtie, toch?

7
toegevoegd

90% van de tijd, alles wat je moet weten over k-formulieren is dat ze iets zijn dat een k-tuple van vectorvelden verandert in een functie op je variëteit. (Aka ze eten vectorvelden en geven functies.)

4
toegevoegd
47,5% van alle statistieken is ter plaatse verzonnen! (FTR: ik ben het eens met de andere 95% van uw antwoord)
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron

Eén-vormen zijn coördinaten van de raakruimte op een bepaald punt. Gegeven een basis van een n-dimensionale vectorruimte, is de dubbele basis slechts de n-de coördinatenfuncties op de vectorruimte op de gegeven basis. Natuurlijk, als de basis van de vector afhankelijk is van het punt, verandert de dubbele basis ook als we het punt op het spruitstuk verplaatsen.

n-vormen in n-dimensionale ruimte zijn een manier om het volume te berekenen, of meer in het algemeen de uitgebreide hoeveelheden die in de natuurkunde verschijnen: massa, elektrische lading etc. De "waarde" van de n-vorm op een punt is de oneindig kleine massa die zich bevindt op het punt.

Het uitleggen van vormen van intermediate degree is een beetje lastig. Ik denk dat sommige fysieke intuïtie weer kan helpen. Gegeven een dun oppervlak van niet-homogeen materiaal in een driedimensionale omgevingsruimte, willen we beschrijven hoe de massa wordt verdeeld over het oppervlak. Op elk punt van het oppervlak willen we een 2-dimensionaal element van "volume". Deze oneindig kleine massa hangt af van het punt dat op het oppervlak is gekozen. De verdeling van de tweedimensionale massa kan worden beschreven door een 2-vorm. Die vorm behoudt twee informatie: de manier waarop het raakvlak naar het oppervlak in de ruimte is gericht (die volledig wordt bepaald door de normale vector op het oppervlak) en de oneindig kleine massawaarde.

Wellicht suggereert zo'n verklaring dat een p-vorm kan worden "geïntegreerd" om een ​​pi-dimensionaal spruitstuk te geven, wat volledig fout is. Toch biedt het wat intuïtie voor p-vormen, die zijn bedoeld om te worden geïntegreerd in manifolds, en het kan een startpunt zijn voor een meer uitgebreid antwoord.

3
toegevoegd
Een 2-vorm in een 3-spruitstuk houdt de informatie van de oriëntatie van het raakvlak naar het oppervlak niet vast. Het geeft eerder een massadichtheid (of ladingsdichtheid, om rekening te houden met het teken) voor elk oppervlak.
toegevoegd de auteur William Isted, de bron

Ik ben er zeker van dat je Mircea al hebt bedacht wat ik ga zeggen, maar als je een beetje vals speelt (je gaat ervan uit dat je meerdere cijfers hebt), kun je altijd denken aan cotangente vectoren als raakvector die handelen op anderen door scalair product.

Ik denk dat als je je het vastklemmen van raakvectoren voorstelt als (hoger dimensionale) parallellogrammen, je een vergelijkbare truc kunt toepassen.

postscriptum Een ander idee zou kunnen zijn om cotangente vectoren als hun kernels te beschouwen, dus hyperplanes in tangentiële ruimte. Dit geeft een beeld van de projectivisering van de cotangensruimte. Misschien kan deze truc ook worden uitgebreid tot differentiële vormen?

2
toegevoegd
Ik ben het eens over 1-vormen en 1-vectoren, maar ik ben niet zeker van de dualtiteit tussen k-vormen en k-vectoren, voor k anders dan 0,1, n-1, n (als n de dimensie van de veelvoud) ... mijn intuïtie zou dan zijn dat de dual van k-vormen gewoon "simple k-vector" -velden zijn. Om dat te rechtvaardigen, moet je opmerken dat een formulier iets moet zijn dat integreert in een sub-variant en dat de vector $ e_1 \ wedge e_2 + e_3 \ wedge e_4 $ in $ \ mathbb R ^ 4 $ niet de tangens van een sub-variëteit vertegenwoordigt.
toegevoegd de auteur Prestaul, de bron

Als een mogelijk hulpmiddel om de "geometrische verbeelding van differentiële vormen" te verbeteren, Ik neem hieronder drie enigszins willekeurige maar suggestieve afbeeldingen op:


      DifferentialForms3
      bronnen: Afbeelding 1 . Afbeelding 2 . Afbeelding # 3 .


2
toegevoegd

Welnu, omdat je het als bevredigend beschouwt om een ​​vectorveld te tekenen met de gebruikelijke tekening van een vector, is een interpretatie van je vraag hoe je een lineaire vorm kunt tekenen. Ik heb een leuke manier geleerd om dat van Patrick Massot te doen: teken gewoon de kernel en het niveau van de waarde $ 1 $. Dit twee geometrische object bevat alle informatie over de lineaire vorm. Hieronder staan ​​snelle schetsen van wat je gemakkelijk op een bord kunt doen.

enter image description here

enter image description here

1
toegevoegd
Omdat iedereen weet hoe vectoren optellen en vermenigvuldigen met scalairen er qua standaardfoto's uitziet, is het een leuke oefening om de analoge afbeeldingen voor covectoren te achterhalen.
toegevoegd de auteur dbr, de bron

Ik heb persoonlijk veel geleerd van het proberen formuleren en visualiseren van de analoge differentiaalmeetkunde over $ GF (2) $, ook bekend als differentiële logica . Er is een expositie hier .

0
toegevoegd

Bepaalde speciale $ k $ -formulieren op een $ n $ -manifold $ M $ lenen zich voor visualisatie.

Laten we voor de eenvoud aannemen dat $ M $ wordt geleverd met een Riemann-meetwaarde.

Stel nu dat we een veld $ \ phi $ van georiënteerde $ k $ -vliegtuigen en een scalair veld (d.w.z. functie met reële waarde) $ s $ op $ M $ hebben. De metriek en de oriëntatie induceren $ k $ -vormen op de $ k $ -vliegtuigen in $ \ phi $. (Ik neem $ k $ -formulieren op een $ k $ -vlak als triviaal om te visualiseren, of bijna zo.)

Gegeven een $ k $ -tuple $ T $ aan raakvectoren op een punt $ p $, kan men de vectoren in $ T $ naar $ \ phi (p) $ projecteren, het $ k $ -vlak over $ p $, berekenen het volume (volgens de $ k $ -vorm veroorzaakt door de metriek) van het resulterende parallellepipedum, gebruik dan de oriëntatie van $ \ phi (p) $ om een ​​teken te krijgen en uiteindelijk te schalen met $ s (p) $.

De lineariteit van de projectie zorgt ervoor dat dit recept een alternerende multilineaire functie van de vectoren oplevert in $ T $. De gegeven gegevens bepalen dus een $ k $ -vorm op een manier die ruwweg even gemakkelijk is om te zien als een vectorveld.

Algemene differentiële $ k $ -vormen ontstaan ​​als lineaire combinaties van deze speciale. De gebruikelijke coördinaatrepresentatie van $ k $ -vormen werkt precies op deze manier, hoewel in dat geval de $ k $ -vlakvelden alleen afkomstig zijn van het coördinatensysteem, onafhankelijk van het $ k $ -formulier dat men hoopt te visualiseren.

Dat laat de vraag over hoeveel beter we doen (bij visualisatie) als we de $ k $ -veldvelden aanpassen aan het $ k $ -formulier dat we willen zien. Over het algemeen hebben we niet veel beter gedaan. Voor grote $ n $ en voor $ k $ intermediair tussen $ 0 $ en $ n $, levert de dimensie van de Grassmann-variëteit van $ k $ -vliegtuigen in $ n $ -space eenvoudig niet genoeg vrijheidsgraden op voor aanzienlijk vermindering van het aantal summands in de lineaire combinatie. En corrigeer me als ik me hier vergis, maar ik zie niets dat een weergave zou kunnen zijn met een minimaal aantal summands op welke manier dan ook canoniek, zelfs generiek. Maar misschien kan iemand iets meer zeggen in low-dimensionale gevallen, zeggen $ 2 $ -forms op een $ 4 $ -manifold. Een aantal dimensies suggereert dat twee velden van $ 2 $ -vliegtuigen zouden moeten volstaan.

Laat me hieraan toevoegen dat we bovenstaand redeneren, we krijgen de projectieve Grassmann-coördinaten op de Grassmann variet $ Gr (n, k) $ van $ k $ -vliegtuigen in $ n $ -space. Een differentiële $ k $ -vorm bepaalt vervolgens een hyperplane-gedeelte van de Grassmann-variëteit. Het hypervlakgedeelte "kent" de differentiële vorm tot een scalair. (We hebben hier een generalisatie van het beschouwen van een (co) vector als een magnitude en een richting.) Dus tot een scalair veld kunnen we een differentiële vorm beschouwen als een bundel Grassmann-variëteithyperplane-secties. Dat maakt het misschien niet eenvoudiger om differentiële vormen te "zien", maar het vertaalt ze wel naar iets geometrisch, canoniek en coördinatenvrij.

0
toegevoegd

Misschien is het nuttig om de discussie te lezen die hier wordt gegeven . Het gaat over cohomologie, maar de intuïtie achter vormen wordt ook besproken.

0
toegevoegd