Is er een reden om de differentiële vormen vóór de vectorvelden te definiëren?

Hallo, mijn vraag is de volgende:

In EGA IV hoofdstuk 16, gegeven $ X $ een schema boven $ S $, definieert Grothendieck eerst $ \ Omega ^ 1_ {X/S} $, de $ O_ {X} $ - module van de 1-differentiëlen. Hij definieert vervolgens de raaklijngarve: $ T_ {X/S}: = Hom_ {O_X} (\ Omega ^ 1_ {X/S}, O_X) $, wat gelijk is aan $ Der (O_X, O_X) $. Waarom, men doet niet het tegenovergestelde en definieert eerst $ T_ {X/S}: = Der (O_X, O_X) $ en dan $ \ Omega ^ 1_ {X/S}: = Hom_ {O_X} (T_ {X/S}, O_X) $?

Ik vermoed dat hier verschillende redenen voor zijn:

1) Dit nieuwe object, waarvan de definitie gemakkelijker lijkt te zijn, is misschien minder handig om mee te werken.

2) In sommige belangrijke gevallen geeft het het verkeerde voorwerp

3) Een andere filosofische reden

Ik zou graag de mening willen hebben over deze vraag van wiskundigen die meer weten dan ik, geometrie en differentiële vormen.

Bedankt.

4
Je zult moeten wachten op een algebraïsche meetkundige om een ​​precies antwoord te krijgen (misschien heb je er al een hieronder), maar er is een goede motivatie om differentiële vormen aan te nemen als fundamenteler in differentiële topologie. Specifiek worden differentiële vormen gemakkelijk georganiseerd in een cohomologietheorie, terwijl vectorvelden dat niet zijn. Ik vermoed, maar kan uit ervaring niet bevestigen dat iemands interesse in differentiële vormen van een schema ook voortvloeit uit hun relatie tot cohomologie.
toegevoegd de auteur jt., de bron

3 antwoord

Tenzij $ X/S $ soepel is, of iets dat er dichtbij staat, kan $ \ Omega_ {X/S} ^ 1 $ niet overeenkomen met $ Hom (T_ {X/S}, O_X) $. De precieze toestand zou dat moeten zijn $ \ Omega_ {X/S} ^ 1 $ is wederkerend. Het lijkt er dus op dat differentiëlen fundamenteler zijn.

5
toegevoegd
Als $ X/S $ niet soepel is, is het gebruikelijk om het cotangent-complex te beschouwen in plaats van $ \ Omega ^ 1. $ Dit is een afgeleide versie van Kahler-verschillen die overeenkomt met $ \ Omega ^ 1 $ als $ X/S $ is glad. U kunt vervolgens het tangenscomplex definiëren als de duaal van het cotangenscomplex. Op ringtechnisch niveau is dit gerelateerd aan wat bekend staat als Andre-Quillen (co) homologie.
toegevoegd de auteur ChrisThomas123, de bron
Ik denk dat het nuttig is, maar men moet er voorzichtiger mee zijn.
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron
Ik vraag me af of er nuttige voorwaarden zijn voor $ \ Omega ^ 1 $ om reflexief te zijn ...
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Ja, maar, in het geval dat $ X/S $ niet vloeiend is, is $ \ Omega ^ 1_ {X/S} $ nuttig?
toegevoegd de auteur Gary, de bron

Beste Nicojo, aangezien je filosofische redenen noemt, wil ik opmerken dat, aangezien een schema $ (X, \ mathcal O_ X) $ een lokaal geringde ruimte is, de meest primitieve concepten zo dicht mogelijk bij de gegevens moeten zijn, de (gegeneraliseerde) functies ingekapseld in de schoof $ \ mathcal O_X $.

At a point $x\in X$ , what could be more natural to consider as the COtangent Zariski space $\mathcal M/\mathcal M^2$ ? It just consists of the functions vanishing at $x$ modulo those vanishing at higher order. And the dimension $d$ of this space will already tell you if the (locally noetherian) scheme $X$ is regular or not at $x$, according as $d=dim\mathcal O_{X,x}$ or $d> dim\mathcal O_{X,x}$

In het relatieve geval $ X/S $ geeft de schoof $ \ Omega_ {X/S} $ u veel informatie. Alleen de leegheid ervan vertelt je al (onder een milde toestand van de eindigheid) alles over niet-ordening:

$ \ Omega_ {X/S, x} = 0 \ iff $ $ f: X \ tot S $ is niet gerangschikt op $ x $

En dit is nog maar het begin: door het top-buitenproduct van $ \ Omega_ {X/k} $ te pakken krijg je (in het soepele projectieve geval over een algebraïsch gesloten veld $ k $) de canonieke schoof $ \ omega_ {X/k } $, wat een sleutelconcept is voor de dualiteit van Serre. Deze canonieke bundel speelt ook een fundamentele rol in de classificatie van bochten, oppervlakken en hogere dimensionale variëteiten, misschien wel het hart van de klassieke algebraïsche meetkunde. Bijvoorbeeld tot $ X $ associeer je de canonieke ring $ R $, een gesorteerde ring waarvan de graad $ m $ component $ R_m = \ Gamma (X, \ omega ^ m) $ is. De Kodaira-dimensie van $ X $ is $ \ kappa (X) = trdeg_k (R) -1 $ en algemene variëteiten zijn gedefinieerd als die met $ \ kappa (x) = dim (X) $. Ze moeten in zekere zin generiek zijn en intensief zijn bestudeerd, met name door de Japanse school (Kodaira, Iitaka, Kawamata, Ueno, Mori, ...)

4
toegevoegd

Merk op dat de universele eigenschap van Kaehler differentialen rechtvaardig is

$ Hom (\ Omega_ {X/S}, M) = Der_S (\ mathcal {O} _X, M) $

dus in zekere zin komen vectorvelden eerst.

3
toegevoegd