Ervoor zorgen dat je een concept hebt begrepen

Ik heb een vraag waar ik al heel lang over nagedacht heb.
Hoe kun je jezelf verzekeren dat je een concept of de ware betekenis van een stelling in de wiskunde volledig hebt begrepen?
Ik bedoel, hoe kun je je realiseren dat je het concept helemaal begrijpt en dat het tijd is om verder te gaan naar de volgende pagina's van het boek dat je aan het lezen bent?
Alvast bedankt voor je reacties.

29
Ik ben het helemaal eens met Mariano. "Getting it" (oh het klinkt zo vies) is iets dat volwassen wordt door tijd en belichting.
toegevoegd de auteur Jason Baker, de bron
... zodat het wachten op krijgen voordat je naar de volgende pagina's gaat een zelfvernietigende strategie is!
toegevoegd de auteur Herms, de bron
"Allez en avant, et la foi vous viendra" (Duw op, en het geloof zal je achterhalen) Jean d'Alembert dixit.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Ik zou zeggen dat je zelden een concept of een stelling voor veel, vele, vele andere pagina's en boeken krijgt.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Ik las in de Princeton-metgezel van de wiskunde dat stellingen resultaten zijn die "verwacht" zouden moeten worden. Ik merk vaak dat mijn "begrip" goed samengaat met het "verwachten" van de volgende stelling.
toegevoegd de auteur Martha, de bron
Oeps, het lijkt erop dat dit citaat al als een antwoord is gegeven. Ik ben er niet zeker van dat het sowieso bijzonder verlichtend is, om eerlijk te zijn.
toegevoegd de auteur user9909, de bron
Von Neumann zei ooit '... in de wiskunde begrijp je dingen niet. Je went er gewoon aan. '
toegevoegd de auteur user9909, de bron

15 antwoord

Ik veronderstel dat het moeilijk is om volledig zeker te zijn en vaak zijn er verschillende niveaus van 'begrijpen' en verschillende interpretaties voor de 'ware betekenis' van concepten en resultaten. Ik kan een paar goede tekenen noemen: a) je zwemt als een vis in de notaties rond het concept/de stelling, b) je kunt de stelling zelf bewijzen zonder eerst het bewijs te zien, of je kunt het tenminste bewijzen nadat je het bewijs hebt gezien . En voor een concept: u kunt de bewijzen van de basisresultaten over het concept bedenken. c) Het concept/de stelling ziet er natuurlijk uit en je zou jezelf zelfs kunnen zien ontdekken. d) je kunt jezelf vragen stellen en beantwoorden (correct) over het concept/resultaat.

Natuurlijk moet je voorbereid zijn op situaties waarvan je denkt dat je ze volledig begrijpt en dan ontdek je dat je dat niet doet en je wint het weer en verlies je het weer ... Dat gezegd hebbende, is er een zeker gevoel als het gaat om problemen/stellingen/concepten van "I got it", de fase-overgang tussen niet of vaag begrip en een volledig of bijna volledig begrip. Je zou in staat moeten zijn om deze overgang te identificeren. (En probleemoplossing kan je een goede oefening geven.)

Een goed advies hierover is om te communiceren: vergelijk uw begrip met medestudenten/collega's en wees niet verlegen om vragen te stellen.

(Ik kan het niet nalaten het verhaal te vermelden van een professor die klaagde bij een collega: ik heb het een keer geleerd en de student begreep het niet; ik onderwees het voor de tweede keer en zij begrepen het niet; daarna onderwees ik het voor de derde keer en < sterk> ik begreep , maar ze begrepen het nog steeds niet.)

36
toegevoegd
+1 Je professor-verhaal is geweldig.
toegevoegd de auteur Keplerf1, de bron
Aan de andere kant hou ik erg veel van teken b), vooral met een versterking: b ') Je kunt de bewijzen die je in boeken vindt vereenvoudigen.
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
d) is tamelijk niet-constructief, omdat beoordelen welke vragen "eenvoudig" zijn een dieper inzicht in het onderwerp vereist dan het beantwoorden van deze eenvoudige vragen ... Aan de andere kant is c) erg moeilijk te verkrijgen. Ik kan mezelf nog steeds niet de homologie ontdekken, ook al ben ik 3-4 jaar blootgesteld aan homologische algebra ...
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Ik hoorde dat von Neumann eens opmerkte dat men in de wiskunde niet begrijpt, dat men er ook aan went. ...
toegevoegd de auteur user6494, de bron
Ik hoorde hetzelfde goede verhaal, waarin de professor werd geïdentificeerd als Israël Moiseevich Gelfand.
toegevoegd de auteur Margaret Friedland, de bron

Probeer het concept uit te leggen aan anderen.

Als zij het ook begrijpen, weet u waarschijnlijk dat u goed begrijpt wat er aan de hand is. Als zij een natuurlijke vraag stellen en u kunt niet antwoorden, dan kan het u helpen om op een nieuwe manier over het concept na te denken. Ze kunnen ook een andere kijk op het geven, om uw begrip te verrijken.

"Ce qui se concoit bien s'enonce clairement et les mots pour le dire viennent aisement" (Boileau)

[wat goed bedacht is, wordt duidelijk gezegd ... en de woorden om het te zeggen stromen met gemak.]

22
toegevoegd
De vertaling is niet helemaal correct. "Concevoir" betekent in deze context "te begrijpen", maar terwijl je het schreef, denk ik dat iemand "geconcipieerd" zou begrijpen zoals in "ontworpen, gebouwd". Ik zou willen voorstellen: "Wat goed begrepen is, kan duidelijk worden vermeld en de woorden om het te zeggen komen gemakkelijk".
toegevoegd de auteur Keith, de bron

Ik hou ervan om een ​​speelse houding aan te nemen tegenover dingen. Ik probeer het concept eerst uit in verschillende elementaire of zelfs triviale contexten en kijk wat er gebeurt. Dit is vooral handig wanneer het resultaat niet overeenkomt met wat ik aanvankelijk van het concept verwachtte, omdat het me ertoe brengt mijn intuïties over het concept te herzien. Maar als het voldoet aan mijn aanvankelijke verwachtingen, dan geeft het ondersteuning aan die eerste intuïties, waardoor ik meer begrip opbouw. Dan kan ik verder gaan met meer inhoudelijke voorbeelden. Geleidelijk aan, door het concept te verkennen in een aantal van deze meer substantiële contexten, komt men tot een dieper begrip van het concept.

Dus uiteindelijk wordt het duidelijk, en je weet het.

Toch geloof ik ook dat je er uiteindelijk nooit helemaal zeker van bent dat een concept volledig begrepen is. Natuurlijk leren we allemaal wel eens nieuwe dingen over concepten waarvan we dachten dat ze vroeger volledig begrepen werden. Misschien hebben we onbewust alleen als voorbeelden van een bepaald type beschouwd en daarom hebben we de mogelijkheden niet volledig gewaardeerd en misschien hebben we opzettelijk onjuiste intuïties ontwikkeld. En hoewel dit soms gebeurt, is het voor de meesten van ons gelukkig zeldzaam.

Dus druk op wanneer u denkt dat u het concept en enkele belangrijke voorbeelden begrijpt, maar wees bereid om de dingen vanaf het begin opnieuw te overwegen wanneer er vreemde nieuwe voorbeelden aan het licht komen.

21
toegevoegd

Hoewel we allemaal de concepten willen "begrijpen", moedig ik je aan om te meten hoe goed je wiskunde leert, niet door of je "een concept begrijpt" of niet (omdat dit uiteindelijk te vaag gedefinieerd is) maar door of je het kunt gebruik wat je hebt geleerd om iets nuttigs te doen. Voor studenten betekent dit meestal het doen van de problemen aan het einde van het hoofdstuk of hoofdstuk. Voor degenen die wiskunde gebruiken als een hulpmiddel (zoals Steve Huntsman), betekent het schrijven van software die de geleerde wiskunde gebruikt. Voor zowel studenten als professionals betekent het ook vaak dat de details worden uitgewerkt, meestal via berekeningen van voorbeelden die illustreren wat u zojuist hebt geleerd. En, natuurlijk, als je een pure wiskundige bent of probeert te zijn, kan het ook betekenen dat je wat je geleerd hebt gebruikt om andere wiskundige verklaringen te bewijzen die je wilt of nodig hebt.

Als je een van deze dingen kunt doen met wat je net hebt geleerd, dan moet je zeker doorgaan naar het volgende. Omdat, zoals anderen je al hebben geadviseerd, je misschien verder wilt gaan, zelfs als je nog niets nuttigs kunt doen. Bij het leren van wiskunde, moet je zeker proberen iets nuttigs te kunnen doen (bijvoorbeeld voorbeelden uitwerken en/of problemen oplossen) met het meeste van wat je leert. Iedereen loopt echter tegen dingen aan die gewoon niet inzakken, ondanks intensieve inspanningen. Zolang je het meeste van al het andere leert, is het vaak raadzaam om gewoon verder te gaan en later terug te keren nadat je meer weet en meer ervaring hebt. Alles wordt gemakkelijker, zo niet bij de tweede poging, meestal tegen de tiende.

15
toegevoegd

Ik vind het leuk om te proberen de resultaten die ik probeer te begrijpen te weerleggen.

Soms geef ik het een goede maand - ik begin met het construeren van perverse sequenties en kleine heuristische argumenten - als ik iets goeds onderneem, zal ik het nastreven tot het rigoureus is: vaker wel dan niet blijkt het precies het geval te zijn niet toegestaan ​​door de aannames van de stelling.

Na een tijdje begin ik mijn tegenargumenten in algemene termen te schilderen "Een A is geen B als A perversiteit X heeft" en ik zoek naar de exacte regel in het bewijs dat 'perversiteit X' (misschien impliciet) wordt behandeld en ontkracht . Vroeg of laat begin ik te zien waar elke regel in het bewijs voor is, bovendien begin ik te begrijpen waarom het waar moet zijn.

Het is misschien niet de snelste manier om te leren, maar het is zeker leuk als je moeite hebt met slapen!

Je kunt dezelfde truc ook toepassen op definities en constructies door te proberen te bewijzen dat ze nutteloos/ontaard zijn.

14
toegevoegd
interessant idee ... ik denk dat ik dit nooit heb geprobeerd.
toegevoegd de auteur Ryan Doherty, de bron

Er is een beroemd citaat van John Von Neumann:

"In de wiskunde begrijp je dingen niet. Je went er gewoon aan. '

Ik weet niet zeker wat dit betekent, maar het betekent misschien dat vragen om iets te begrijpen een vraag is die niet echt logisch is, in feite vraagt ​​je vraag eigenlijk: wat is de definitie van begrip. Zo'n vraag kan vanaf het begin zijn gedoemd. Zelfs als we het eens zouden kunnen zijn over een bepaalde definitie, en je zou het toepassen op een of ander wiskundig concept, ben ik er zeker van dat je later, nadat je andere dingen hebt geleerd, je het gevoel zult geven dat je dat concept sowieso nooit hebt begrepen. Dus mijn advies is om je concept te nemen en eraan te wennen. Hier zijn enkele ideeën over hoe.

1) Als het een definitie is, probeer dan enkele voorbeelden en niet-voorbeelden te bedenken. De niet-voorbeelden zijn vooral handig als je een bijvoeglijk naamwoord toevoegt aan iets dat je al weet; zoals het toevoegen van "prime" aan "nummer"

2) Ik, het is een stelling, probeer precies vast te stellen waar de hypothesen in het bewijs worden gebruikt en probeer tegenvoorbeelden te bedenken voor de uitspraak terwijl u die hypotheses verwijdert.

3) Als er oefeningen zijn, dat wil zeggen als u een tekstboek leest, probeer ze dan. Zelfs als je ze niet bereikt, lees dan in ieder geval de verklaringen.

4) Probeer, nadat u denkt dat u gewend bent aan uw idee, het aan iemand uit te leggen. Dit is een heel goede manier om te zien of je iets over het hoofd hebt gezien.

5) Wat betreft de opmerking over verdergaan naar de volgende pagina's: verwacht niet dat je regel voor regel door een boek gaat en niet terug hoeft te gaan. De spullen verderop in het boek kunnen helpen.

Kortom, als je veel met je concept werkt, houdt het op om je te intimideren. Maak je geen zorgen over het bereiken van inzicht (gelijk aan de ware betekenis), dit zal nooit gebeuren, wat goed is, want het proberen is toch belangrijk. Blijf het dus proberen en heb plezier ermee!

14
toegevoegd
Wees niet bezorgd dat je niet weet wat von Neumann bedoelde. Gewoon wennen. ;-)
toegevoegd de auteur Joel Brown, de bron
De bovenste, de voorbeelden en tegenvoorbeelden, werken het beste voor mij.
toegevoegd de auteur Michael, de bron
@TimothyChow Heel leuke woordspeling!
toegevoegd de auteur Loser, de bron

Dat kun je niet, omdat je dat nooit zult doen. Er is altijd meer te begrijpen over een bepaald onderwerp.

10
toegevoegd
@Mariano: zie math.wayne.edu/~isaksen/Expository/carrying. pdf voor "een cohomologisch standpunt over rekenen op basisscholen."
toegevoegd de auteur Sam, de bron
Afhankelijk van hoe volledig u een onderwerp of specifiek concept wilt begrijpen, Theo.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
@Steven: een bijzonder nieuw inzicht in elementaire rekenkunde dat u met ons kunt delen? : P
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Zeno's paradox?
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
toegevoegd de auteur enmapping, de bron
Dit is geen voorbeeld van de paradox van Zeno. Dezelfde investering in tijd geeft na verloop van tijd steeds minder begrip. Begrip als een functie van tijd heeft waarschijnlijk een horizontale asymptoot. OTOH mijn begrip van elementaire rekenkunde is dit jaar enorm toegenomen en was van tevoren al rond de 5e klas gestagneerd ...
toegevoegd de auteur enmapping, de bron
Toen ik $ W_ {p ^ n} $ schreef, bedoelde ik natuurlijk $ W_ {p ^ n} \ links (\ mathbb Z \ right) $.
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Wist u dat als u de basistoevoegings- en -vermenigvuldigingsalgoritmen in basis 2 als polynomen schrijft (dwz het $ n $ -th cijfer van de som als een polynoom van de eerste $ n $ cijfers van de summands, en hetzelfde voor de product, natuurlijk is alles in $ \ mathbb F_2 $), dan krijg je de Witt toevoeging/vermenigvuldiging polynomen voor $ p = 2 $? (Dit komt van $ W_ {p ^ n} \ cong \ mathbb Z \ diagup p ^ n \ mathbb Z $ - alleen voor $ p = 2 $ is dit isomorfisme echter echt triviaal om op te schrijven.)
toegevoegd de auteur James Fee, de bron

Ik heb meestal het gevoel dat ik een constructie (versus een bewijs) het best begrijp als ik het met succes in code kan implementeren (merk op dat dit niet het omgekeerde betekent: dat ik iets niet zou begrijpen dat ik niet had gecodeerd). Ik heb in de praktijk geconstateerd dat programmeren ervoor zorgt dat je de confrontatie met details aangaat en fenomenen belicht die anders nogal obscuur of zelfs 'diep' zouden zijn. De beste dingen hierover zijn het gebrek aan ambiguïteit over het al dan niet werken van code en het vermogen om insecten te isoleren en gebieden van de constructie te markeren die nog steeds (misschien onverwacht) onduidelijk zijn.

10
toegevoegd

Door een stuk wiskunde te "begrijpen", bedoel je:

  • anticiperen op consequenties van definities en stellingen?
  • in staat zijn de waarheid/leugen van 'natuurlijk klinkende' proposities te bepalen?
  • in staat zijn te herkennen wanneer een resultaat van toepassing is op een bepaald probleem?
  • resultaten kunnen toepassen op praktische problemen?

Als je 'ja' hebt gezegd tegen een of meer van de bovenstaande, dan is je interpretatie van de activiteit van "begrijpen van wiskunde" --- en ja, het is een activiteit --- heeft veel gemeen met, en kan in feite worden identiek aan, de onderneming van wiskundig onderzoek. Dat wil zeggen: wiskundig onderzoek is niet meer of minder dan de poging om onze eigen wiskundige ideeën beter te 'begrijpen' en hoe ze op een vruchtbare manier kunnen worden toegepast: zowel voor anderen van onze wiskundige ideeën als voor meer 'empirisch geneigde' situaties.

Furthermore, Turing and Gödel demonstrated that this endeavor is sufficently complicated that it cannot be grasped by any algorithmic approach (at least as we currently understand the concept of an 'algorithm'), and the independence of various 'interesting' propositions from our favourite axiom-systems entail that it is open-ended, i.e. it requires creativity and aesthetic taste on our part as to what mathematical ideas are interesting.

Het begrijpen van wiskunde is de limiet van een onbegrensd proces; het gebeurt niet, het kan niet gebeuren. Het beste wat je kunt doen, is gewoon meedoen aan de activiteit.

8
toegevoegd

I am going to address an aspect of your question that most other respondents seem to have overlooked. It sounds to me that you're asking, how do I know that I've understood a particular concept well enough to be able to turn the page and keep reading?

Ik ken een aantal studenten die vastlopen bij het lezen van wiskunde omdat ze vinden dat ze elke regel grondig moeten begrijpen voordat ze door kunnen gaan naar de volgende regel. Hoewel deze stijl voor sommige mensen werkt, is dit voor de meeste mensen meestal niet de beste manier om een ​​nieuwe wiskunde op te nemen.

Wanneer ik een nieuw stuk wiskunde probeer te leren, begin ik meestal met het vastmaken van een belangrijke stelling en maak ik er een doel van om die stelling te begrijpen. De stelling wordt misschien niet meteen in het begin vermeld, maar ik zal doorgaan om te zien wat de stelling zegt. Als de stelling terminologie gebruikt die ik niet ken, dan ga ik terug en zoek naar de definities van die termen. Soms, om de definities te begrijpen, moet ik enkele inleidende lemma's begrijpen, dus zal ik mij tot die lemma's wenden en het proces herhalen. Dus in plaats van voorwaarts te lezen, lees ik vaak achteruit . Op deze pas zal ik de bewijzen meestal ook overslaan. Alleen als ik een goed idee heb van de algemene structuur van het papier of het hoofdstuk van het boek, en weet waar ik naartoe ga, begin ik dan regel voor regel te lezen.

Als u deze methode van lezen toepast, is het meestal duidelijk wanneer u klaar bent om door te gaan naar de volgende stap, omdat u met een doel leest.

7
toegevoegd
1. Echt een goede strategie voor het lezen van wiskunde.
toegevoegd de auteur jack.valentine, de bron

Hier is een strategie die goed heeft gewerkt voor mij.

Neem een ​​resultaat dat je wilt begrijpen en probeer het zelf te bewijzen.

Als je slaagt, geweldig! Als dat niet het geval is, kijk dan naar het begin van het bewijs en sluit het bewijs zodra u een inzicht bereikt dat u niet zelf hebt kunnen bedenken. Probeer dit inzicht te bewijzen en probeer het bewijs te voltooien met dit inzicht bij de hand.

Als je slaagt, geweldig! Zo niet, herhaal.

In mijn ervaring geeft proberen en niet om een ​​resultaat te bewijzen u een goede waardering voor de bewijzen die wel werken. Constructies die anders kunstmatig lijken, zijn vaak logisch als het overwinnen van een of andere barrière waar je op stuitte.

5
toegevoegd
Ik ben er niet zeker van of de ware betekenis van een stelling in haar bewijs ligt. Soms is de stelling er omdat het waar zou moeten zijn en het bewijs is gewoon de test dat je uiteindelijk de juiste definities hebt gevonden voor het framework waarin je geïnteresseerd bent.
toegevoegd de auteur 0tyranny 0poverty, de bron

Charles Sanders Peirce gave the following advice for increasing the clarity of one's concepts:

Overweeg welke effecten dat kan zijn    mogelijk hebben praktische peilingen   je zwanger de objecten van je    conceptie te hebben. Dan, jouw    conceptie van die effecten is de   geheel van uw concept van de   object.

Dit wordt de Pragmatische Maxim of de Maxim van Pragmatism genoemd en er is een filosofische school ontstaan ​​die daarop is gebaseerd. Variaties op hetzelfde thema en een beetje expositie zijn hier te vinden.

Wiskundig gezien is dit een maximaal algemene vorm van representatieprincipe . Een minder uitgebreide vorm van het leidt tot het principe van operationele definitie dat enige invloed begon uit te oefenen in de wetenschap, het meest prominent met Percy Bridgman .

4
toegevoegd

Als je een collega bij de hand hebt die niet op de hoogte is van het idee dat je probeert te begrijpen, maar de juiste achtergrond heeft, dan is dat briljant, omdat je je begrip kunt testen door het te proberen uit te leggen. Op dezelfde manier, wanneer ik de gelegenheid heb gehad om korte uiteenzettingen of notities te schrijven voor een gesprek over een onderwerp, kan ik op een efficiënte manier veel van de kleine onzekerheden en misverstanden identificeren en wegnemen die in grote aantallen naar voren komen wanneer je voor het eerst iets leert over iets. Het kan overdreven zijn, maar als je dat soort dingen rigoureus en grondig kunt doen zonder dat je intuïties veranderen, dan kun je jezelf zeker feliciteren met weten waar je het over hebt.

3
toegevoegd

Ik beschouw mezelf meestal als iemand die iets begrijpt, als ik het op een computer kan implementeren. Ik gebruik algebraïsche combinatoriek, dus het is vrij eenvoudig om identiteiten en bijecties te verifiëren.

Kortom, als ik mijn computer een concept kan leren, moet ik het zelf begrijpen.

3
toegevoegd
Niet ik. Ik heb een heleboel dingen geïmplementeerd op een computer zonder te begrijpen wat ik aan het doen was. In principe herschrijft u het algoritme of een formule uit een boek of een paper in C ++. Inzicht zou soms later komen bij het afstemmen van het algoritme en het uitvoeren van verschillende ingangen hoewel en zien hoe dingen reageren op de invoer veranderingen.
toegevoegd de auteur Michael, de bron

Ik denk dat ik een stelling begrijp als ik de hypothesen kan reconstrueren die alleen de conclusie onthouden. Evenzo denk ik dat ik een theorie begrijp als de axioma's allemaal redelijk en voor de hand liggend lijken.

U kunt dit echter niet echt in eerste lezing krijgen. Ik sta meestal toe dat ik verder ga als het bewijs van de stelling genoeg mijn interesse trekt om de details te lezen, of te triviaal lijkt om me mee bezig te houden. Als ik niet denk dat ik het kan, maar niet graag wil leren, dan waardeer ik duidelijk niet genoeg van wat ik heb gelezen om serieus te proberen meer te lezen.

Misschien is de ultieme test wel of je de stelling ergens voor kunt gebruiken.

2
toegevoegd
dat klinkt een beetje zoals je denkt dat alleen omgekeerde wiskunde echt wiskunde begrijpt. :-)
toegevoegd de auteur Ryan Doherty, de bron