Kan de geodetische stroom worden behouden door een inhomogene herschaling van een doorsnede?

Let $M$ be a compact Riemannian manifold with metric $g$ and associated Riemannian volume $\nu$ and geodesic flow $G_t : UTM \rightarrow UTM$, where the unit tangent bundle is indicated. Let $X_j \subset UTM$ for $1 \le j \le n$ be open disjoint codimension one submanifolds transversal to $G_t$, i.e., local cross sections (a global cross section does not exist).

Is het mogelijk om een ​​metriek $ g '$ te kiezen   op $ M $ met geodetische stroom $ G'_t = G_t $   en $ \ nu'_1 (X_j) \ equiv 1 $?

NB. Hier staat $ \ nu'_1 $ voor de geïnduceerde codimensie één [relatieve] maat voor $ UTM $.

Deze vraag is ingegeven door een nuttige opmerking bij deze .

2
$ \ nu_1 '$ is de beperking van de Riemann-maat veroorzaakt door $ g' $. Het idee is om dingen transversaal in de stroom te tweaken om lokale doorsneden met uniforme geïnduceerde maat te bereiken.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
Ik wil dat de lokale doorsneden generiek zijn en van tevoren worden gegeven en vervolgens de metriek manipuleren om hun meetwaarden te uniformeren met behoud van de geodetische stroom.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
Wat is de definitie van $ \ nu_1 '$? Is het de beperking van de statistiek tot $ X_j $? in dat geval weet ik niet waarom zou $ g $ veranderd moeten worden, ken jij een voorbeeld waar $ g $ niet werkt?
toegevoegd de auteur Jon Kiparsky, de bron
Ok, dus u wilt dat de lokale doorsnede wordt aangesloten? Anders kunt u "voldoende" verschillende kleine doorsneden maken om zo veel als u wilt te krijgen. Voor driedimensionale stromingen die geodetische stromingen van Anosov zijn, kun je naar het werk van Fried kijken (hij construeert "bijna" -wereldlijke dwarsdoorsneden) D. FRIED: Transitieve Anosov-stromingen en pseudo-Anosov-kaarten, Topologie 22,3 (1983) (sorry Ik kon geen hyperlink maken, maar Google brengt je daarheen)
toegevoegd de auteur Jon Kiparsky, de bron
Bedankt. Eindelijk begrepen, leuke vraag. Sorry (ik heb geen antwoord).
toegevoegd de auteur Jon Kiparsky, de bron

1 antwoord

Unless I misunderstand this reference* after a cursory look, it appears that the answer is generally no: "geodesic conjugacy" often implies isometry.


* and anways, why is it that references seem so much easier to find once I've posted a question on MO?

2
toegevoegd