Kan het continuüm een ​​singuliere kardinaal zijn?

Martin's Axioma impliceert dat $ 2 ^ {\ aleph_0} $ een normale kardinaal is. Maar kan $ 2 ^ {\ aleph_0} $ een bijzondere kardinaal zijn?

By Konig's Lemma, it can never be $\aleph_{\omega}$ since cf($2^{\aleph_0}$)>$\aleph_0$ but under what conditions can it be $\aleph_{\omega_1}$? It is even possible it can be $\aleph_{\omega_1}$?

7

1 antwoord

Ja, maar het moet een ontelbare cofinaliteit hebben. Dus als het enkelvoud is, is de kleinste mogelijkheid $ \ aleph _ {\ omega_1} $.

Het basisfeit is dat als $ \ kappa $ elke kardinaal is, dus $ \ kappa ^ \ omega = \ kappa $, dan is er een dwingende extensie $ V [G] $ waarin $ 2 ^ \ omega = \ kappa $. De kracht om dit te bereiken is $ \ text {Add} (\ omega, \ kappa) $, die bestaat uit eindige gedeeltelijke functies van $ \ kappa \ times \ omega $ tot $ 2 $.

In het bijzonder, als je begint met GCH in het grondmodel en $ \ aleph _ {\ omega_1} $ veel Cohen reals toevoegt, dan heb je $ 2 ^ \ omega = \ aleph _ {\ omega_1} $ in de forcing-extensie. Het bewijs gebruikt de volgende feiten: (1) het toevoegen van een willekeurig aantal Cohen reals is c.c.c. en daarom behoudt alle kardinalen. (2) De forcing voegt duidelijk althans zoveel reals toe. (3) Een aardig naamargument laat zien dat elke real in de extensie een mooie naam heeft in het grondmodel, en er zijn slechts $ \ aleph _ {\ omega_1} $ veel van dergelijke namen. Het continuüm van de extensie is dus exact $ \ aleph _ {\ omega_1} $. Dezelfde ideeën werken voor elke $ \ kappa $ waarvoor $ \ kappa ^ \ omega = \ kappa $.

10
toegevoegd
Ik ben erg blij om het te horen. Forceren is echt geweldig!
toegevoegd de auteur Dane O'Connor, de bron
Nou, dit argument ging alleen over het toevoegen van subsets aan $ \ omega $, waardoor de GCH niet faalde bij $ \ aleph _ {\ omega_1} $. Het toevoegen van subsets aan een singuliere kardinaal is een geheel andere kwestie, verzadigd met moeilijkheden, juist vanwege dergelijke problemen rond de stelling van Silver en de SCH. De natuurlijke forcing om subsets toe te voegen aan een enkele kardinale $ \ gamma $ is bijvoorbeeld niet $ \ lt \ gamma $ -gesloten.
toegevoegd de auteur Dane O'Connor, de bron
Heel erg bedankt voor het antwoord, ik ben eigenlijk bezig met leren hoe dwingen werkt!
toegevoegd de auteur Michael Larocque, de bron
Heeft dit enige consequentie als je in de vergelijking zou hebben, de stelling van Silver over de GCH kan niet voor de eerste keer mislukken bij $ \ aleph _ {\ omega_1} $ Betekent dit de stelling van Silver? Het lijkt erop dat het zou moeten ... maar betekent dit dat het continuüm voor $ \ aleph _ {\ omega_1} $ mislukte?
toegevoegd de auteur Michael Larocque, de bron
Heeft een <$ \ gamma $ -closed forcing geen zekerheid dat je bepaalde soorten subsets niet kunt toevoegen?
toegevoegd de auteur Michael Larocque, de bron