Zariski-tangente ruimten voor representatieverschillen

In Bill Goldman's paper "The Symplectic Nature of the Fundamentele Groups of Surfaces" (Advances, 54, 200-225, '84) wordt gesteld dat de "Zariski tangent space" naar een representatieruimte Hom $ (\ pi, G)/G $ bij een representatie $ \ rho $ is de cohomologiegroep $ H ^ 1 (\ pi; Ad \ \ rho) $. Hier is G een Lie-groep, en Ad $ \ rho $ is de representatie van $ \ pi $ op de Lie-algebra van G veroorzaakt door de adjoint-actie van G. In de context van Goldman's paper, is dit misschien gewoon bedoeld om te verwijzen naar het geval wanneer $ \ pi = \ pi_1 S $ met $ S $ een Riemann-oppervlak is.

Mijn vraag is: is er enige zin waarin dit geldt voor andere discrete groepen $ \ Gamma $? Over het algemeen is $ Hom (\ pi, G)/G $ slechts een semi-algebraïsche set en geen variëteit, dus misschien is de vraag niet echt zinvol. Maar ik zou graag willen weten of deze eerste cohomologiegroepen zich op een zinvolle manier gedragen als raakvlakken.

Hier zijn twee specifieke vragen. Ik ben het meest geïnteresseerd in het geval wanneer G = U (n).

Edit: Let me emphasize that I'm really talking about the topological quotient Hom(G, U(n))/U(n), which is a reasonably nice space. Since U(n) is compact, general nonsense implies that this space is Hausdorff, and even better, it's a semi-algebraic set. So in particular, it's homeomorphic to a simplicial complex.

  1. Say $[\rho]\in$ Hom$\left(\Gamma, U(n)\right)/U(n)$ has an open neighborhood homeomorphic to $\mathbb{R}^m$ for some $m$. Is it then true that dim $H^1 (\Gamma; Ad\ \rho) = m$? In other words, does the cohomology group give the "topological" dimension at "smooth" points in Hom$\left(\Gamma, U(n)\right)/U(n)$? When $H^1 (\Gamma; Ad\ \rho) = 0$, a theorem of Weil (Ann. of Math. (2) 80 1964 149--157) says that $[\rho]$ is an isolated point in Hom$\left(\Gamma, U(n)\right)/U(n)$. This is the converse statement for m=0.

  2. If $[\rho]$ is not a smooth point in the above sense, then in any triangulation of Hom$\left(\Gamma, U(n)\right)/U(n)$, we see that $[\rho]$ must not lie in the interior of a maximal simplex. If $\sigma$ is a maximal simplex of dimension m containing $[\rho]$ (in its boundary), is it true that dim $H^1 (\Gamma; Ad\ \rho) > m$? In other words, does the dimension of the "tangent space" jump up at non-smooth points?

Alle ideeën, referenties, voorbeelden of tegenvoorbeelden zijn welkom!

10
Oppervlaktegroepen zijn uitzonderlijk aardig. Ik verwacht dat 1. false is voor willekeurige $ \ Gamma $ (het representatie-schema kan behoorlijk wild zijn). Zie een document van Lubotzky en Magid in de Memoires. Als niemand anders antwoordt, probeer ik morgen iets specifiekers te bedenken.
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron
Als $ \ Gamma $ de fundamentele groep is van een compact Kaehler-spruitstuk, dan bij Donaldson ..., kan uw ruimte worden geïdentificeerd met raakvlak aan het moduli-schema van polystabiele bundels met triviale Chern-klassen. En ik ben ervan overtuigd dat dit slecht kan zijn, dus niet gereduceerd, maar ik heb geen specifiek voorbeeld in gedachten. Misschien kun je iets vinden in Goldman en Millson's paper in IHES (1988). Ik denk dat ik voorlopig geen ideeën meer heb.
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron
Ik heb Lubotzky en Magid net gecontroleerd voordat ik dit heb gepost. Ze lijken zich te concentreren op het geval van algemene lineaire representaties. Daar heeft de ruimte van conjugaatklassen van semi-eenvoudige representaties de structuur van een variëteit. Als ik nog wat meer kijk, zie ik dat ze laten zien dat deze cohomologiegroepen de Zariski-tangens zijn. Dus dit lijkt mijn vragen in deze setting positief te beantwoorden, maar ik ben echt geïnteresseerd in eenheidsrepresentaties.
toegevoegd de auteur stckvrw, de bron

3 antwoord

Dus ik denk niet dat ik hier je vraag zal beantwoorden, en ik denk dat je waarschijnlijk het meeste weet van wat ik op dit punt ga schrijven. Maar misschien zal deze informatie nuttig zijn voor anderen die toevallig deze draad passeren.

Laat $ G $ algebraïsch zijn (inclusief compact en complex reductief) en geef $ R (G) = \ mathrm {Hom} (\ pi, G) $ aan.

De raaklijnruimte van $ R (G) $ op $ \ rho $ is altijd logisch, omdat het algebraïsch is en het de verdraaide coccours is $ Z ^ 1 (\ pi, \ mathfrak {g} _ {\ mathrm {Ad} \ rho }) $.

Evenzo is de raaklijnruimte voor een conjugatiebaan in het algemeen ook logisch en is de gedraaide coboundaries $ B ^ 1 (\ pi, \ mathfrak {g} _ {\ mathrm {Ad} \ rho}) $.

Beide zijn resultaten van Weil van Opmerkingen over cohomologie van groepen , geloof ik.

Helaas is de raaklijnruimte voor een quotiënt niet altijd het quotiënt van de raakruimten, dus het is niet waar dat de raakvlakruimte naar $ R (G)/G $ altijd $ H ^ 1 is (\ pi, \ mathfrak {g} _ {\ mathrm {Ad} \ rho}) $. Merk op dat als $ G $ compact is dit quotiënt de baanruimte is, en als $ G $ complex reductief is, is dit het GIT-quotiënt.

Een eenvoudig voorbeeld is het volgende: Laat $ \ pi = \ mathbb {Z} $ en laat $ G = \ mathrm {SL} (n, \ mathbb {C}) $. Vervolgens is het GIT-quotiënt $ R (G)/G $ $ \ mathbb {C} ^ {n-1} $, geparametriseerd door coëfficiënten van het karakteristieke polynoom, en dus is het vloeiend. De tangenserende ruimte voor het identiteitskarakter is dus $ \ mathbb {C} ^ {n-1} $. Aan de andere kant is de baan van de identiteit triviaal en het is een vloeiend punt in $ R (G) = G $. Dus de cocycles zijn $ \ mathfrak {g} = \ mathbb {C} ^ {n ^ 2-1} $ en de coboundaries zijn triviaal. Dus de eerste cohomologie is ook $ \ mathbb {C} ^ {n ^ 2-1} $ wat veel groter is dan het correcte resultaat van $ \ mathbb {C} ^ {n-1} $.

Het volgende is echter waar. Als $ \ rho \ in R (G) $ vloeiend is (altijd waar voor onherleidbare herhalingen in oppervlaktegroepen en alle herhalingen in gedraaide oppervlaktegroepen en alle herhalingen in vrije groepen), en ook een gesloten conjugatiebaan heeft, dan gebruikt Slice Stelling (Luna, of Mostow) men kan bewijzen dat de raaklijn in de equivalentieklasse $ [\ rho] $ de raakruimte is op 0 in een quotiënt van cohomologie: $ T_0 (H ^ 1 (\ pi, \ mathfrak { g} _ {\ mathrm {Ad} \ rho})/C) $, waarbij $ C $ de centralisator is van $ \ rho $ in $ G $. Maar over het algemeen zijn er tegenvoorbeelden bekend. Zie hier .

Terugkerend naar het bovenstaande voorbeeld hebben we dan $ \ mathfrak {sl} (n, \ mathbb {C})/C = \ mathbb {C} ^ {n-1} $ sinds $ C = \ mathrm {SL} (n , \ mathbb {C}) $ (nog steeds geparametriseerd door de coëfficiënten van het karakteristieke polynoom, maar nu in plaats van dat de determinant wordt vastgesteld, is het spoor vast).

Als de centralizer triviaal is, herstelt men de gebruikelijke verklaring dat de raakruimte $ H ^ 1 is (\ pi, \ mathfrak {g} _ {\ mathrm {Ad} \ rho}) $. Dit geldt bijvoorbeeld voor onherleidbare weergaven en $ G = \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C}) $ of $ \ mathrm {SL} (n, \ mathbb {C}) $ (of hun maximale compacte subgroepen ) en $ \ pi $ is een vrije groep of een (gedraaide) oppervlaktegroep. Maar zelfs als $ \ pi $ een vrije groep is en $ G = \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {C}) $ en $ \ rho $ een onherleidbare weergave is, zijn er tegenvoorbeelden (namelijk er zijn onherleidbare singulariteiten in dat geval).

Er is altijd een open dichte subset van soepele irreducibles en een verdere subset van degenen waarvan de centralizer gelijk is aan het midden van $ G $. Dit worden "goede" afbeeldingen genoemd (a la Millson). De verzameling goede representaties modulo G is een veelvoud en de set van alle irreducibles vormt een orbifold (voor algemene $ G $ onherleidbaar betekent dat $ \ rho (\ pi) $ niet is vervat in een parabolische subgroep).

Laat me proberen om kort in te gaan op (1). Wanneer de dimensie van de raaklijn de dimensie van de ruimte is, is er in de sterke topologie een buurt die op een bal lijkt. Het omgekeerde is in het algemeen niet waar.

Denk aan $ x ^ 2 = y ^ 3 $ die een singulariteit heeft op $ (0,0) $ algebraïsch maar de buurt van $ (0,0) $ in het ras is homeomorf aan een Eucliceaanse wijk. Aan de andere kant heeft $ xy = 0 $ ook een dimensiesprong in tangensruimte bij $ (0,0) $, maar geen enkele buurt is homeomorf aan een bal. Hoe dan ook, singulariteiten in een algebraïsche setting kunnen mild of wild zijn of iets daartussenin (zoals het orbifold-type).

Met betrekking tot (1), als $ [\ rho] $ zich binnen een maximale simplex bevindt, denk ik dat dit nog steeds afhankelijk is van $ [\ rho] $. Hoe dan ook, in het algemeen (zoals het voorbeeld $ x ^ 2 = y ^ 3 $ toont) wetende dat een punt in een semi-algebraïsche set een buurt heeft die thuisomorfisch is voor een bal, zegt het niet dat het geen enkelvoud is.

Opmerking: een recent artikel van Millson en Kapovich laat zien dat singulariteiten in karakterverschillen zo slecht kunnen worden als je je kunt voorstellen. Zie hier .

Voor $ \ pi $ een vrije groep echter geloof ik in het algemeen (voor alle, behalve een eindig aantal tegenvoorbeelden) de situatie: reductieven zijn enkelvoudig en hebben geen thuisomorfische omgeving voor een bal. Voor $ \ pi $ een gratis groep en $ G $ gelijk aan $ \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C}) $ of $ \ mathrm {SL} (n, \ mathbb {C}) $ dit meer of minder is vastgesteld. Zie mijn paper hier . Ook zijn de onreduceerbare stoffen ofwel soepel ofwel laten ze orbifold singularieties toe. Maar er zijn orbifolds die homeomorf zijn naar variëteiten (maar niet altijd), dus het lijkt erop dat iemand een orbifold singulariteit (met een onherleidbare) kan hebben die toevallig een buurt heeft die homomorf is aan een bal (dit zou een negatief antwoord geven op (1 )). Ik heb echter geen voorbeeld om dit zeker te laten zien.

Over (2), als de cohomologie overeenkomt met de raakruimte (zoals voor vrije groepen of gedraaide oppervlaktegroepen), dan moet de dimensie springen bij een singulariteit en dus ook bij de cohomologie. Maar als het punt in het begin niet overeenkomt met de cohomologie, moet de cohomologie mogelijk niet, hoewel de raakruimte nog steeds een verspringing moet hebben. Nogmaals, ik heb geen voorbeeld om dit zeker te laten zien.

6
toegevoegd
Dit is een geweldig antwoord, dank je! (Hoewel ik niet het OP ben ...)
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron

Het is in het algemeen fout. Een tegenvoorbeeld werd gebouwd door J.Huebschmann in sectie 6 van zijn paper "Singularities en Poisson-geometrie van bepaalde representatieruimten" . Als, laten we zeggen, $ \ rho (\ Gamma) $ een triviale centralisator heeft, dan raakt de Zariski-tangensruimte $ Hom (\ Gamma, G)//G $ (u moet het quotum van Mumford gebruiken om de vraag zinvol te maken) bij $ [\ reh] is $ inderdaad isomorf naar $ H ^ 1 (\ Gamma, Ad \ rho) $. De reden is dat de $ G $ -actie bij zulke $ $ een lokale doorsnede toelaat en dat alles dan werkt, zoals A.Weil in zijn document uit 1964 "Opmerkingen over cohomologie van groepen" uitlegde.

4
toegevoegd
Bedankt voor de referentie, Misha. Sectie 6 ziet er erg interessant uit en lijkt een aantal kwesties expliciet te maken waar ik al heel lang over in de war ben ... Ik zal het zorgvuldig moeten bekijken. De vraag was echt gemotiveerd door een aantal werk dat ik een paar jaar geleden deed, waarbij de grenzen werden aangegeven (als een CW-complex) van de moduli-ruimte van $ U (n) $ -representaties van kristallografische groepen.
toegevoegd de auteur stckvrw, de bron

Er zijn sommige mensen in de buurt die veel meer over dit onderwerp weten dan ik, maar aangezien geen van hen tot nu toe heeft gereageerd, wil ik een paar opmerkingen maken. Volgens een oude stelling van Narasimhan en Seshadri (1965) zijn moduli van platte eenheidsbundels met onherleidbare holonomie en van holomorfe stabiele bundels op een Riemann-oppervlak $ \ Sigma $ isomorf. De voormalige ruimte is in feite de representatieve variëteit die je hebt beschreven en heeft een canonieke symplectische structuur; de laatste ruimte is een Mumford GIT-quotiënt, dus het is een algebraïsche variëteit. Er is een grote machine die een dergelijke relatie impliceert tussen de Kahler/symplectische reductie en een GIT-quotiënt voor eindig-dimensionale groepsacties, behalve dat de groep in deze situatie de dieptegroep is, dus moet er voorzichtig mee worden omgegaan.

Onherleidbaarheid van de representatie $ \ rho $ verzekert dat de holonomie van de corresponderende verbinding een triviale centralisator heeft (scalaire matrices) en dat het corresponderende punt $ [\ rho] $ in de moduli-spatie regulier is (niet-enkelvoudig en niet-orbievoudig). Zonder dit, moet je voorzichtig zijn met het definiëren van het quotiënt. De eerste cohomologiegroep

$$ \ text {H} ^ 1 (\ Sigma, \ operatorname {End} \ rho) = \ text {H} ^ 1 (\ pi, \ operatorname {End} \ rho) $$ classificeert $ G $ -conjugacy classes van infinitesimale vervormingen van $ \ rho: \ pi \ tot G $ door abstracte Kodaira-Spencer-theorie, dus het antwoord op Q1 is bevestigend: als het punt $ [\ rho] $ soepel is, is de dimensie van de moduli-spatie bij $ [ \ rho] $ is de dimensie van de eerste cohomologie. Deze instructie generaliseert naar willekeurige eindig gegenereerde discrete groepen $ \ Gamma $. U kunt $ \ Sigma = \ text {K} (\ pi, 1) $ en rekening houden met de topologische cohomologie van $ \ Sigma $ in plaats van de groepscohomologie van $ \ pi $. De case die door Weil wordt bestudeerd, is wanneer $ \ Sigma $ een hyperbolisch $ n $ -manifold is, zodat de moduli-ruimte niet langer een complexe of algebraïsche structuur heeft voor $ n \ geq 3. $ Een moeilijkheid bij het adresseren van Q2 is dat als $ \ rho $ is reduceerbaar, je krijgt een orbifold punt, dus het is niet helemaal logisch om te spreken over triangulaties. Een andere moeilijkheid is dat als de cohomologische dimensie van $ \ pi $ groter is dan 2 (dat wil zeggen $ \ dim \ Sigma \ geq 3 $), het moeilijker wordt om de dimensies van hogere cohomologiegroepen bij te houden door middel van de Euler-eigenschap. Representatieverscheidenissen van groepen met 3 variëteiten zijn uitgebreid bestudeerd (zie bijvoorbeeld documenten van Shalen).

2
toegevoegd
Ik heb geen goed gevoel over wat er op enkele punten gebeurt. Bekijk de papieren van mensen met 3 variëteiten, ze hebben waarschijnlijk bijna elke vraag beantwoord die je misschien hebt.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Ik sta er echt op niet voorzichtig te zijn met het vormen van het quotiënt! (Ik beloof dat ik mijn redenen heb ...) Wat ik bedoel is, ik ben echt geïnteresseerd in de topologische quotiëntruimte Hom $ (\ Gamma, U (n))/U (n) $ , wat een redelijk mooie ruimte is. Algemene onzin vertelt je dat het Hausdorff is (omdat U (n) compact is), en het is zelfs semi-algebraïsch. Het is met name homeomorf voor een gewoon simplicisch complex. Misschien zegt de theorie van Kodairi-Spencer dat ik moet uitzoeken of mijn topologische notie van dimensie - trianguleren en naar de maximale simplices kijken - overeenkomt met een soort van stapsgewijs begrip?
toegevoegd de auteur stckvrw, de bron