Een waarde op T (G/H)

Ik wil weten welk isomorfisme van vectorbundels het volgende is?

alt text http: //2.bp. blogspot.com/_uGcgLiQvkI8/TAgpIivl6oI/AAAAAAAAAKk/DCg9iK2W3rA/s1600/Capture-52.png

waarbij $ G/H $ het quotiënt is van groep $ G $ door zijn subgroep $ H $ en $ T (G/H) $ is de tangensbundel, $ G \ times_H \ mathfrak {g}/\ mathfrak {h} $ is de bundel gekoppeld aan de hoofdbundel $ G \ tot G/H $ via de bijbehorende representatie op $ \ mathfrak {g}/\ mathfrak {h} $

0
Waarom is de vraag met de titel "een waarde op T (G/H)"? Het isomorfisme dat u noemt heeft niets te maken met statistieken.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Hiermee bedoel je misschien dat als je een inwendig product op g/h hebt dat invariant is onder de adjoint-actie van H, het zich uitstrekt tot een G-invariante metriek op G/H?
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Ik wil weten hoe het werkt ... Ik bedoel een relatie die dit isomorfisme uitdrukt
toegevoegd de auteur Tom Lokhorst, de bron
Ah ja! omdat ik met dit isomorfisme een metriek kan construeren op T (G/H) met behulp van de metriek op g/h
toegevoegd de auteur Tom Lokhorst, de bron
Precies.
toegevoegd de auteur Tom Lokhorst, de bron
Pedro - wat wil je precies weten over dit isomorfisme?
toegevoegd de auteur algori, de bron

1 antwoord

Er is een duidelijke kaart $ G \ keer \ mathfrak g \ tot G \ times_H \ mathfrak g/\ mathfrak h $, en een isomorfisme $ TG \ tot G \ maal \ mathfrak g $. Aan de andere kant geeft de projectie $ G \ tot G/H $ een kaart $ TG \ tot T (G/H) $. U kunt nu een kaart $ T (G/H) \ construeren naar G \ times_H \ mathfrak g/\ mathfrak h $ als de compositie $$ T (G/H) \ linkerpijl TG \ tot G \ maal \ mathfrak g \ tot G \ times_H \ mathfrak g/\ mathfrak h. $$ Hier betekent de achterwaartse pijl "kies een willekeurige afbeelding".

4
toegevoegd
Dat kan om een ​​aantal redenen niet waar zijn, het meest basale is misschien het volgende. De linkerkant is een homogene vectorbundel van meer dan $ G/H $, terwijl de rechterkant (ervan uitgaande dat je meent wat ik begrijp door je notatie) in het algemeen niet eens een veelvoud is, omdat de baanstructuur van de vectorruimte $ \ mathfrak {g}/\ mathfrak {h} $ onder de adjoint-actie van $ H $ kan behoorlijk gecompliceerd zijn.
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Ik wilde gewoon niet te veel schrijven: P Ik kan de notatie volgen naar de additieve relaties in de homologie van MacLane
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Leuk! Nu wil ik weten of dit waar is $ G \ times_H \ mathfrak g/\ mathfrak h \ sim G/H \ keer (\ mathfrak g/\ mathfrak h)/Ad (H) $
toegevoegd de auteur Tom Lokhorst, de bron
Interessante conventie deze terugwaartse pijl, Mariano.
toegevoegd de auteur tomlogic, de bron