Ergodische splitsing in L_p

Ik heb een nieuwsgierigheid naar de Ergodische ontbinding gegeven door de stelling van von Neumann:

$$ L ^ 2 (X, \ Sigma, \ mu) = L ^ 2 (X, \ Sigma_T, \ mu) \ oplus \ overline {\ {ff \ circ T \: \ f \ in L ^ 2 (X, \ Sigma, \ mu) \}} $$

dat gebeurt voor een kaart met behoud van de meetwaarde $ T $ van een waarschijnlijkheidsruimte $ (X, \ Sigma, \ mu) $, $ \ Sigma_T $ is de sub-σ-algebra van alle $ T $ -invariante meetbare sets, en de (orthogonale) projector is de voorwaardelijke verwachting $ E (\ cdot | \ Sigma_T) $. Voor alle $ 1 \ leq p \ leq \ infty $ is de voorwaardelijke verwachting goed gedefinieerd als een lineaire projector van norm 1 op $ \ textstyle L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) $, met bereik de gesloten subruimte $ L ^ p (X, \ Sigma_T, \ mu) \ subset L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) $. Daarom is het heel normaal om de analoge ontleding van de $ L ^ p $ spaties te overwegen die door de $ L ^ p $ -projector worden gegeven, die 'zou moeten' zijn:

$$ L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) = L ^ p (X, \ Sigma_T, \ mu) \ oplus \ {\ overline {\ {ff \ circ T \: \ f \ in L ^ p ( X, \ Sigma, \ mu)} \}} ^ {L ^ p}. $$

Als $ 1 \ leq p \ leq 2 $ is, is deze splitsing ook waar en wordt deze gemakkelijk verkregen met een L p -sluiting die begint bij de splitsing van $ L ^ 2 $. Voor $ 2 \ leq p \ leq \ infty $ wordt een splitsing verkregen door beperking tot $ L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) $. En hier komt het probleem: op deze manier krijg ik de juiste eerste factor (het bereik van de projector) $ L ^ p (X, \ Sigma_T, \ mu) = L ^ 2 (X, \ Sigma_T, \ mu) \ dop L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) $, maar ik begrijp niet waarom de kern van de projector,

$$ \ overline {\ {ff \ circ T \: \ f \ in L ^ 2 (X, \ Sigma, \ mu) \}} ^ {L ^ 2} \ cap \ L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) $$

moet gelijk zijn aan (en niet groter dan)

$$ \ overline {\ {f-f \ circ T \: \ f \ in L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) \}} ^ {L ^ p}. $$

Misschien is het geen fundamenteel punt (het komt niet in het bewijs van de belangrijkste ergodische stellingen), maar ik denk dat als een volledige analogie bewaarheid is, het leuk zou zijn om het te verklaren, en als dat niet het geval is, zou men graag weet wat er mis gaat. Ik controleerde de belangrijkste teksten van de ergodische theorie op dit punt en vond niets.

Summarizing:

is er een (hopelijk snelle) manier om te zien of voor $ 2 \ leq p \ leq \ infty $ er een opname is (vandaar gelijkheid)

$$ \ overline {\ {ff \ circ T \: \ f \ in L ^ 2 (X, \ Sigma, \ mu) \}} ^ {L ^ 2} \ cap \ L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) \ \ subset \ \ overline {\ {ff \ circ T \: \ f \ in L ^ p (X, \ Sigma, \ mu) \}} ^ {L ^ p} $$

$$ \ mathbf {?} $$

7
TeX note: sorry, ik zou op geen enkele manier de accolades "{}" kunnen krijgen in de 4 sets onder het teken "\ overline" van de sluiting. Wat is er op?
toegevoegd de auteur Tom Duckering, de bron
Heel erg bedankt Gjergji, de \\} werkt goed. En $ L ^ \ infty $ is dicht in $ L ^ p $, zeker ... Maar hoe houdt dit de gelijkheid van de 2 ruimtes in?
toegevoegd de auteur Tom Duckering, de bron
Als p> 2 u $ L ^ {\ infty} $ heeft, is dat $ L ^ p $. Probeer ook voor de accolades \\ {
toegevoegd de auteur dguaraglia, de bron
Je kunt ook backticks plaatsen rond de hele dollartekensamenstelling, en dit zal het probleem in het algemeen oplossen.
toegevoegd de auteur martinatime, de bron

1 antwoord

De gemiddelde ergodische stelling op L ^ p-plaatsen is te wijten aan F. Riesz (1938) en S. Kakutani (1938). Voor p in $ [1, \ infty [$, dit is stelling 1.2 ff in het boek van Krengel, "Ergodic-stellingen".

Als $ p = \ infty $, krijg je de splitsing alleen op de set functies waarvoor de Birkhoff-bedragen samenkomen, wat volgens mij in het algemeen niet alles is. In algemene Banach-ruimten heb je altijd de splitsing in beperking tot de ruimte van vectoren met convergerende gemiddelden (zie Krengel, stelling 1.3).

De ontleding is min of meer expliciet. Voor alle meetbare functies g kunnen we schrijven

$ g - {1 \ over n} S_n (g) = g_n - g_n \ circ T $

met $ S_n (g) = \ Sigma_0 ^ {n-1} g \ circ T ^ k $ en $ g_n = {1 \ over n} \ \ Sigma_0 ^ {n-1} S_k (g) $.

If g is in the $L^2$ closure of coboundaries, we know that its conditional expectation w.r.t the invariant $\sigma$-algebra is zero. If moreover g is in $L^p$, $1\leq p < \infty$, we know that ${1\over n} S_n(g)$ goes to zero in $L^p$ norm, using the $L^p$ ergodic theorem. Also, the functions $g_n$ are in $L^p$, from their very definition. So g is in the closure of $L^p$ coboundaries.

Ik ben niet zeker dat het resultaat geldt voor $ p = \ infty $.

2
toegevoegd
Dank je. Ik ben op de hoogte van Kakutani, Riesz, Wiener & c. Maar mijn zorg betreft precies de directe sum-decompositie in L_p, die wordt verkregen door de orthogonale decompositie in L_2: precies, door een sluiting, voor p <2; per beperking, voor p> 2. Hoewel de eerste factor altijd duidelijk is, is de tweede niet helemaal duidelijk voor mij in het geval p> 2.
toegevoegd de auteur Tom Duckering, de bron
Ik heb mijn antwoord bewerkt, dus het zou nu (bijna) de vraag moeten beantwoorden.
toegevoegd de auteur coudy, de bron