Oppervlakken waarvan de geodesics algebraïsch zijn

Wat valt er te zeggen over een oppervlak waarvan de geodeten allemaal algebraïsch zijn? Een voorbeeld is natuurlijk de bol.

12
Ik heb een nog fundamentelere vraag: wat betekent het dat een geodetische algebraïsch is? Wordt aan de voorwaarde voldaan door een irrationele kronkeling op een platte torus?
toegevoegd de auteur ricree, de bron
Uit nieuwsgierigheid, wat is het eenvoudigste voorbeeld van een niet-algebraïsche geodetische?
toegevoegd de auteur kevtrout, de bron
... en het vliegtuig.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Als het oppervlak compact is, moeten alle geodesics worden gesloten. Er is een heel leuk boek van Besse over manifolds waarvan de geodeten allemaal gesloten zijn, maar ik kan me niet herinneren of hij die ook algebraïsch acht.
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Mariano, er zijn er maar een paar in dimensie 2. In principe is het het probleem van de alberische integrabiliteit van de geodetische stroming op een oppervlak. Je hebt een extra integraal nodig (naast het vierkant van de lengte). Ellipsoïde (gedaan door Jacobi in elliptische coördinaten) en oppervlakken van revolutie (Clairaut's relatie) zijn de meest prominente genus 0 voorbeelden.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Ik heb zojuist dit artikel van Kozlov gevonden dat het bestaan ​​van algebraïsche geodesics op algebraïsche oppervlakken beschouwt. Het is een gerelateerd probleem, maar niet echt wat ik vroeg: V. Top Kozlov, "Topologie van echte algebraïsche krommen en de integrabiliteit van geodetische stromingen op algebraïsche oppervlakken." Funct. Anaal. Appl. 42 (2008), nee. 2, 98 - 102. MR2438015 (2009d: 37101) springerlink.com/content/72W1645U0P822LT9
toegevoegd de auteur Kevin, de bron
@Scott: Ik denk dat de OP betekent dat de geodetische onderdeel moet zijn (vervat in) een subvariëteit.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
Als u een Lorentz-metriek op de omgevingsruimte toestaat, het hyperboloïde-model van het hyperbolische vlak.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron
Pete, op een torus van revolutie in $ R ^ 3 $ is er een mengsel van positieve en negatieve Gausskromming. Dus, door een punt op de buitenste rand te fixeren, kun je met symmetrieargumenten drie soorten geodeten beschrijven. Als de hoek met de buitenste "evenaar" klein is, repetitief maar niet opwindend. Als de hoek groot genoeg is, bijna orthogonaal ten opzichte van de evenaar, repetitief en opwindend. In een bepaalde kritische hoek in het midden nadert de geodetische de innerlijke "evenaar" maar bereikt deze nooit. Dit laatste type is niet algebraïsch, wat er ook met de anderen kan gebeuren.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron
Zie Sinclair en Tanaka "A Bound on the Endpoints of the Cut Locus", pagina 2 van de 19 in deze pdf: www.lms.ac.uk/jcm/9/lms2005-018/sub/lms2005-018.pdf Blijkbaar de eerste karakterisering was Gilbert A. Bliss (1902) "De geodetische lijnen op de ankerring" Ann. van Math. (2) 4 (1902) 1-21. Ik ben blij dat ik deze goed heb gekregen, ik heb het opgelost door continuïteitsargumenten.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron

1 antwoord

Een reeks voorbeelden wordt gegeven door projectieve ruimten. In dat geval zijn prime closed geodesics geweldige cirkels op gebieden .

Zie Klingenberg's Lectures on Closed Geodesics , p. 178, stelling 5.2.1. De relevante pagina is niet beschikbaar op Google, maar is toegankelijk via Amazon .

1
toegevoegd