Een probleem met betrekking tot de definitie van p-norm

Let ${\bf x}=(x_1,...,x_n)$, the p-norm of x is $(|x_1|^p+...+|x_n|^p)^{1/p}$. If one of the components of x is 0, there will be exponential of the form $0^p$. If p is an irrational, $x^p$ is only definable for x>0 (see e.g. page 181 of baby Rudin), that is, $0^p$ is not defined. So how do we handle this problem when working with p-norm? Assume that p does not take irrational value, or prescribe that $0^p$ means 0 when it occurs? Thanks!

3
$ 0 ^ p $ betekent in deze context 0. Er is geen probleem bij het definiëren van het niet-negatieve vermogen van niet-negatieve reals voor p> 0 inclusief $ 0 ^ p = 0 $, en dus geen ambiguïteit bij het definiëren van $ x \ mapsto | x | ^ p $ on $ \ mathbb {R} $.
toegevoegd de auteur Chris Carruthers, de bron
Het kan impliciet begrepen worden in elke context waar het opkomt. Je zou het op deze manier kunnen bedenken: de 0-vector heeft beter 0, toch? Of, $ x \ mapsto | x | ^ p $ definiërend zodat het continue krachten $ 0 ^ p = 0 $ is. Dit kan echter een ander onderwerp zijn voor een site op onderzoeksniveau, vandaar Steve's stem om te sluiten.
toegevoegd de auteur Chris Carruthers, de bron
@Ricky: Je moet voldoende reputatie hebben om te stemmen om te sluiten. Zie de FAQ voor details.
toegevoegd de auteur Mark Ireland, de bron
Nul tot een positief vermogen is nul. Stemmen om te sluiten.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
In de FAQ: "Het primaire doel van MathOverflow is dat gebruikers wiskundige vragen op het gebied van onderzoeksvragen stellen en beantwoorden, de soorten vragen die je tegenkomt als je aan het schrijven bent of artikelen leest of boeken op graduaat niveau." De FAQ somt ook een aantal sites op die meer geschikt zijn voor andere soorten wiskundevragen.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
@ Jonas Meyer. waar is een definitie voor $ 0 ^ p $, p irrationeel? kan je me doorverwijzen naar een tekstboek of een webpagina?
toegevoegd de auteur Eoin Campbell, de bron
Bedoelt u dat vragen op laag niveau niet op deze site mogen worden gesteld? Dan zou er op de webpagina een waarschuwingsboodschap moeten staan ​​met de tekst "Out! Newbies".
toegevoegd de auteur Eoin Campbell, de bron
Als 0
toegevoegd de auteur George Bora, de bron

1 antwoord

The question is basically jumping to conclusions about page 181 of baby Rudin. (May he rest in peace.) He says there, "We now define $x^\alpha$ for any real $\alpha$ and any $x > 0$. The continuity and monotonicity of $E$ and $L$ show that this definition leads to the same result as the previously suggested one."

Well, Rudin does not say what might or might not go wrong when $x = 0$. The answer is that when $\alpha > 0$, then you can equally well ask for $f(x) = x^\alpha$ to be continuous and monotonic, and then it has a continuous extension to $x = 0$. I have not seen a reasonable alternative definition of $0^\alpha$ for any question in real analysis. This is so even though when $x < 0$ and $\alpha$ is either irrational or has an even denominator, then you can only reasonably say that $x^\alpha$ is either undefined or complex and multivalued. The only reason that Rudin would exclude $x = 0$ is that his formula $e^{\alpha \log x}$ doesn't work, and because $0^\alpha = \infty$ (unsigned, not $+\infty$) when $\alpha < 0$.

Een minder triviale versie van hetzelfde probleem doet zich voor wanneer u de entropie van de vector $ \ vec {x} $ bekijkt wanneer $ || \ vec {x} || _1 = 1 $, d.w.z. $$ H (\ vec {x}) = \ sum_k -x_k (\ log x_k). $$ Dit is gerelateerd aan de afgeleide van de $ p $ -norm als $ p \ tot 1 $. In dit geval, wanneer $ x_k = 0 $, definieer je de term in de som nog steeds als $ 0 $, door continue uitbreiding van $ f (x) = x (\ log x) $.

2
toegevoegd
Ik denk ook dat de andere commentatoren het niet verkeerd hebben om het een naïeve vraag te noemen.
toegevoegd de auteur John Topley, de bron