Som van cijfers geïtereerd

Original version. I believe that it is an elementary question, already discussed somewhere. But I just have no idea of how to start it properly. Take a positive integer $n=n_1$ and compute its sum of digits $n_2=S(n)=S_{10}(n)$ in the decimal system. If the newer number $n_2$ is greater than $10$, then compute the sum $n_3=S(n_2)$ of its digits, and continue this iteration $n_k=S(n_{k-1})$ unless you get a number $n^* =n_\infty$ in the range $1\le n^* \le 9$. Is $n^*$ uniformly distributed in the set $\lbrace 1,2,\dots,9\rbrace$? If this is not true in the decimal systems, what can be said in the other systems?

Ik heb gisteren net geleerd over het Feng Shui-systeem om te bepalen wat voor soort problemen/voordelen iemand kan krijgen volgens het huisnummer, zeg $ n $, van zijn/haar huis. Dit hangt af van de bovenstaande $ n ^ * $. Ik reken niet serieus op de conclusies maar ben benieuwd of $ n ^ * $ voldoende democratisch is.

Edit. The question was immediately realized as obvious, because $n^*$ is the residue modulo $9$ (with 0 replaced by 9), and this works in any base as well. So the Feng shui function is really trivial, but one can deal with less trivial ones.

Laat me $ m $ repareren en $ Q_m (n) $ definiëren als de som van $ m $ de bevoegdheden van decimale cijfers van een positief geheel getal $ n $. Wat kan gezegd worden over de volgorde van iteraties $ n_k = Q_m (n_ {k-1}) $ voor een gegeven integer $ n_0 $? Hoe lang kan de (minimale) periode zijn voor een vaste $ m $? En wat valt er te zeggen over de verdeling van de puur periodieke staarten?

Ik hoop dat de vraag nog steeds elementair is.

1
Ik heb altijd al op een vraag willen reageren door dit te zeggen: ik weet het niet. En het is waar.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron

2 antwoord

Het geval $ m = 2 $ verschijnt in Hugo Steinhaus's "One Hundred Problems In Elementary Mathematics", probleem 2 (althans in Russische editie van 1986). Elke reeks komt op 1 en blijft hier, of gaat naar de cyclus (145,42,20,4,16,37,58,89)

2
toegevoegd
Bedankt, Nurdin! De laatste keer dat ik het boek las (in het Russisch natuurlijk) was minstens 25 jaar geleden, maar ik ben er na je hint weer op terug. De dingen zijn echt verrassend voor mij ...
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron
Als ze in 1 eindigen, worden ze "Happy Numbers" genoemd. Controleer Wikipedia. Hun verdeling tot 10 ** 7000 is hier te vinden: << a href = "http://www.shaunspiller.com/happynumbers/>" rel = "nofollow noreferrer"> shaunspiller.com/happynumbers/> ;
toegevoegd de auteur Stefan Gruenwald, de bron

Een startpunt kan http://www.oeis.org/A005188 zijn met een $ n $ -cijferige lijst nummers $ r $ met $ Q_n (r) = r $, en heeft verwijzingen naar gerelateerde eigenaardigheden.

2
toegevoegd
Oh-oh, ik had niet verwacht dat er onderzoek in deze richting was ... Dit zijn narcistische nummers ( en .wikipedia.org/wiki/Armstrong_number ): In "A Mathematician's Apology" schreef GH Hardy: "Er zijn slechts vier numben, na unity, die de sommen zijn van de kubussen van hun cijfers: $$ 153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3, \ quad 370 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3, \ quad 371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3, \ quad 407 = 4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3. $$ Dit zijn vreemde feiten, zeer geschikt voor puzzelkolommen en waarschijnlijk amateurs te amuseren, maar er is niets in wat de wiskundige aanspreekt. " Ik moet mezelf waarschijnlijk een amateur noemen.
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron