Is het mogelijk om alle Weil-cohomologieën te classificeren?

Weil-cohomologieën lijken "natuurlijke" en bruikbare cohomologietheorieën te zijn. Wikipedia geeft een overzicht van Betti, De Rham, l-adic etale en kristallijne cohomologieën als voorbeelden van Weil cohomology. Hebben we er meer van? en is het aannemelijk om alle of enkele Weil-cohomologieën te classificeren? Of meer in het algemeen, classificeert u deze echt goede Grothendieck-sites?

6

1 antwoord

Als we geloven in de standaard vermoedens (of iets dergelijks) zodat de categorie van motieven Tannakiaans is, dan is een Weil cohomologietheorie gewoon een vezelfunctio- nager en als zodanig van elkaar wringt (dat geeft echter niet helemaal de multiplicatieve structuur) die geeft min of meer een classificatie. Merk op dat uw vraag op Grothendieck-sites slechts vaag gerelateerd is, het hele punt van het begrip Weil cohomology-theorie is dat er geen site in zicht is (woordspeling bedoeld).

Addendum: This is a little bit simple minded as the requirements for a Weil cohomology theory to be a fibre functor go beyond the standard conjectures I think. Also one would need to define motives using cohomological equivalence. However, I think the statements I made are philosophically OK and one cannot hope to get anything in the way of a more precise classification.

4
toegevoegd
Torsten, ik lees waarschijnlijk te veel in je woordkeuze, maar ik ben het er niet mee eens dat "het hele punt van de notie van de Weil cohomologietheorie is dat er geen site in zicht is". Ik zou kunnen zeggen dat, aangezien de definitie van de Weil cohomologietheorie geen keuze van de locatie inhoudt, het bijzonder bevredigend zou zijn als, wanneer de universele Weil cohomologietheorie wordt ontdekt, deze kan worden geconstrueerd zonder een specifieke locatiekeuze. Ik ben het daar misschien zelfs niet mee eens, omdat alle definities van schema (of algebraïsche ruimte) in essentie een bepaalde locatiekeuze impliceren.
toegevoegd de auteur user1114, de bron
Ik kan me niet herinneren of theorieën uit Weil-cohomologie waarden mogen aannemen in categorieën die algemener zijn dan vectorruimten over een veld van karakteristiek 0, maar modulo dit probleem, de grote de Rham-Witt-cohomologie is een ander voorbeeld. Helaas is er nog niets over in de literatuur verschenen, maar je hoeft niet lang te wachten.
toegevoegd de auteur user1114, de bron
Mijn opmerking ging meer over wat naar mijn mening de motivatie van Grothendieck was. Het vinden van een natuurlijke manier om Weil cohomologietheorieën te interpreteren als de cohomologie met betrekking tot een of andere topologie (en een aantal schoof erin) zou een a posteriori feit zijn (en een geweldige).
toegevoegd de auteur chanchal1987, de bron
Een interessant (maar ook nieuwsgierig) voorbeeld is een ultraproduct van etale coomologie met $ \ mathbb Z/\ ell $ -coëfficiënten over alle $ \ ell $ anders dan het kenmerk. Het werd door Gabber gebruikt om te laten zien dat $ \ ell $ -adic cohomology torision-vrij is voor iedereen behalve een fini voor een eindig aantal $ \ ell $ (en voor een vaste, soepele en projectieve variëteit).
toegevoegd de auteur chanchal1987, de bron
zou een van de vier genoemde functoren fungeren als een soort speciale functoren? of ze zijn gewoon "een van hen"? Wist je trouwens meer voorbeelden van Weil-cohomologieën? Dank je.
toegevoegd de auteur natura, de bron