Convexe lichamen samenvoegen

Gegeven twee convexe lichamen $ A $ en $ B $, laten we zeggen in $ \ mathbb R ^ 3 $. We definiëren $ A (t) $ en $ B (t) $ als $ A + xt $ en $ B + yt $ waarbij $ x, y $ twee willekeurige punten zijn. (Dat is de Minkowski-som, dus de twee lichamen bewegen met constante snelheid in de richtingen $ x $ en $ y $, en $ t $ is de tijdvariabele.) Kan iemand laten zien dat de functie $$ f (t) = \ operatorname {Vol} (A (t) \ cap B (t)) $$ is unimodaal? Dat gaat tot op zekere hoogte niet verder, en neemt dan niet meer toe.

11
Ik vermoed dat het bewijs, zelfs in het algemene geval, niet erg moeilijk is, maar ik heb geen enkele referentie. Ik was vandaag met een vriend aan het discussiëren over Kneser-Poulsen en dacht dat de vraag hierboven een van de eenvoudigste was die in een reeks verwante vragen kon worden gesteld.
toegevoegd de auteur dguaraglia, de bron
Gjergji, ik vermoed dat je om de 3D-versie vraagt ​​omdat dit in 2D bekend is. Kun je een link naar het bijbehorende resultaat geven?
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron

1 antwoord

De sets $ \ {(A (t), t) | t \ in \ mathbb {R} \} \ subset \ mathbb {R} ^ 4 $ en $ \ {(B (t), t) | t \ in \ mathbb {R} \} \ subset \ mathbb {R} ^ 4 $ zijn convex, hun snijpunt $ K $ is een begrensde convexe set en $ f (t) $ is het volume van het segment van $ K $ op hoogte $ t $. Door Brunn-Minkowski ongelijkheid, dit is log-hol, dus zeker unimodaal.

13
toegevoegd
Als $ f ^ {1/3} $ concaaf is, dan is $ f $ log-concaaf. Het soort recept van Thorny wordt vaak de voorkeur gegeven als het mogelijk is, omdat het geen dimensie heeft.
toegevoegd de auteur Grégoire Cachet, de bron
Zie ook Zalgaller, V. A., Op kruispunten van convexe lichamen .
toegevoegd de auteur crashmstr, de bron
Dankjewel Thorny! Dit is fijn. Overigens bedoelt u dat $ f (t) ^ {1/3} $ concaaf is, toch? Unimodaliteit volgt in ieder geval.
toegevoegd de auteur dguaraglia, de bron
@Mark Meckes: Je hebt gelijk, ik denk dat ik log-concave voor concaaf om wat voor reden dan ook verkeerd lees ...
toegevoegd de auteur dguaraglia, de bron
De kruising $ K $ hoeft niet te worden begrensd. Beschouw het geval $ A \ cap B \ ne 0 $ en $ x = y $.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron