Bepaling van de conjugaatklasse van een subgroep vanaf kruising met conjugacy-klassen

Is een subgroep van een eindige groep uniek bepaald, tot aan conjugatie, door de subset van conjugaatklassen van de grotere groep die deze kruist?

3
Dit is zeker waar wanneer de subgroep elke conjugacyklasse kruist en wanneer deze slechts één conjugacyklasse doorsnijdt. Zie deze recente verwante vraag: mathoverflow.net/questions/26979/…
toegevoegd de auteur Templar, de bron
Jeetje! Bedankt Steve.
toegevoegd de auteur Templar, de bron
De subgroepen <(13) (24)> en <(13) (24), (12) (34)> in $ S_4 $ kruisen dezelfde conjugacy-klassen en zijn zelfs niet isomorf!
toegevoegd de auteur Steve D, de bron
Wordt het uniek bepaald door de grootte van zijn kruispunten met elke conjugacyklasse?
toegevoegd de auteur JimB, de bron

1 antwoord

Laat $ G $ de groep van affiene lineaire kaarten zijn over het Galois-veld $ k = GF (16) $ van bestelling $ 16 $. De elementen van $ G $ zijn kaarten van $ k $ naar zichzelf van het formulier $ x \ mapsto ax + b $ waarbij $ a \ in k ^ * $ en $ b \ in G $. Degenen met $ a = 1 $ -vorm een normale elementaire abelse subgroep ~ $ H $. Alle niet-triviale elementen van $ H $ zijn geconjugeerd. Dan bevat $ H $ veel subgroepen van $ 4 $, vijfendertig in totaal, elk bestaande uit de identiteit en drie elementen van deze conjugacyklasse van involuties. Maar deze zijn niet allemaal geconjugeerd onder $ G $; het is duidelijk dat zo een subgroep heeft maximaal vijftien conjugaten.

5
toegevoegd
Bedankt Robin! Dat is keurig. Zou je me een presentatie van die groep kunnen geven zodat ik zelf met dit voorbeeld kan spelen?
toegevoegd de auteur Templar, de bron
Als u echt een presentatie wilt: generatoren $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ x $. Laat $ a ^ 2 = \ cdots = d ^ 2 = x ^ {15} = 1 $, $ a, \ ldots, d $ commute, $ xax ^ {- 1} = b $, $ xbx ^ {- 1} = c $, $ xcx ^ {- 1} = d $, $ xdx ^ {- 1} = ab $.
toegevoegd de auteur Marcio Aguiar, de bron