Green's formule voor niet-oriënteerbare spruitstukken

Gewoonlijk bewijst men in de differentiaalmeetkunde de Stokes-stelling en verkrijgt dan de divergentiestelling en de formules van Green als uitvloeisels. De divergentie-stelling is echter ook geldig voor niet-oriënterende riemanniaanse variëteiten wanneer men vormen vervangt door dichtheden. Maar dan moeten de formules van Green ook geldig zijn. Mis ik iets? Ik heb geen discussie gevonden over waar precies de oriënteerbaarheid nodig is.

Verder veronderstellend dat groene formules in niet-oriënterende spruitstukken een variatieformulering kunnen definiëren, bijvoorbeeld voor elliptische PDE's daar. Ik vraag me af of de (niet) richtbaarheid enig effect heeft op de oplossingen van dergelijke PDE's?

6

3 antwoord

So it seems that Bott & Tu are saying that orientability doesn't really matter: Stokes theorem remains valid if one replaces forms by densities. But then it's curious why this fact is not clearly stated in differential geometry books. For example some projective spaces are nonorientable and obviously projective spaces are fundamental in all mathematics. So it's funny why there is no explicit discussion of these matters in projective spaces.

3
toegevoegd

Gelijkaardig antwoord, een vriend die onlangs werd gevraagd over gedraaide vormen voor niet-richtbare spruitstukken, wat ik vond was pagina 79-88 in Bott en Tu, "Differentiële vormen in algebraïsche topologie." Ik denk ook dat een verdraaide Stokes-stelling mogelijk is, omdat ze een volledig verwrongen de Rham-complex voorstellen. Hoe dan ook, kijk eens:

http://books.google.com/books?id=S6Ve0KXyDj8C&pg=PA79&dq=bott+tu+twisted&cd=1#v=onepage&q&f=false

Ik heb gegoogled met 'gedraaide Stokes-stelling'. Mijn vriend Dmitry vroeg oorspronkelijk op basis van enkele natuurkundige vragen. Het lijkt erop dat deze natuurkundigen een vrij directe discussie geven, misschien is het genoeg. "Funderingen van klassieke elektrodynamica: lading, flux en metrisch"  Door Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov, (2003) Birkhauser

http://books.google.com/books?id=48-hHXL-CYUC&pg=PA93&lpg=PA93&dq=twisted+Stokes+theorem&source=bl&ots=EQhcJBqPC2&sig=iK7FdNGL7xFeePoqjFhcnLbn3d4&hl=en&ei=3UcJTJOxFIiMNtDR2bUE&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBYQ6AEwAA#v=onepage&q=twisted%20Stokes%20theorem&f=false

3
toegevoegd

A discussion of the kind you want indeed seems to be difficult to locate. I am not an expert but I guess one could prove your claim (and more broadly, some version of the Stokes theorem) for non-orientable manifolds by passing to the two-sheeted covering oriented manifold, as suggested, in a slightly different setting, in the book Geometry VI: Riemannian geometry by Postnikov (here is the link to the relevant page on Google preview).

EDIT: As explained in the Bott--Tu book (see the link in Will's answer and also these two pages), rescuing the Stokes theorem in the non-orientable case requires passing from differential forms to densities.

2
toegevoegd