Sheaf Cohomology on a Stone Space

Laat $ X $ een stenenruimte zijn, d.w.z. een compacte, volledig ontkoppelde hausdorff-ruimte. Dan is $ H ^ 1 (X, \ mathbb {Z}/2) = 0 $. Hier is één manier om dit te bewijzen: $ X $ met $ \ mathbb {Z}/2 $ (de constante schoof) is een affineerschema, gebruik nu het verdwijnresultaat voor quasicoherente schoven op affiene schema's.

Wat gebeurt er als we ook lokaal compacte, volledig ontkoppelde hausdorff-spaties toestaan? Dan is $ X $ met $ \ mathbb {Z}/2 $ weer een schema, maar het is geen affine (tenzij $ X $ compact is). Een typisch voorbeeld is een open subset van een stenen ruimte (eigenlijk is dit generiek), of de onderliggende topologische ruimte van een lokaal veld.

7
Ik denk dat $ \ aleph_1 $ een disjuncte unie is van compacte open subsets. Zo verdwijnt de cohomologie.
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
Overweeg Aleph_1 met zijn besteltopologie. Weet je hoe je kunt laten zien dat H ^ 1 (Aleph_1, Z/2) = 0? Ik durf te wedden dat het niet-triviaal is.
toegevoegd de auteur André Henriques, de bron

2 antwoord

A search brought up this paper by R. Wiegand. This article by the same author might also be of interest.

3
toegevoegd
Stelling 4.1 in het eerste artikel is erg handig. En in het tweede artikel biedt de opmerking na Prop. 5.3 een tegenvoorbeeld voor het verdwijnen van $ H ^ 1 (X; \ mathbb {Z}/2) $.
toegevoegd de auteur Farinha, de bron

De verdwijnende stelling houdt stand onder redelijke topologische hypetheses, bijvoorbeeld wanneer we een volledig ontkoppelde topologische ruimte $ X $ hebben die paracompact is, Hausdorff, lokaal compact en een telbare basis heeft (bijvoorbeeld de $ p $ -adial rationals).

In dat geval is de ruimte normaal (aangezien het Hausdorff is en plaatselijk compact) en voldoet daarmee aan de Lindelof-conditie. Dan is er voor elke gesloten $ A $ en $ B $ met lege kruising een clopen $ U $, dus $ A \ subset U \ subset X \ setminus B $ (zie bijvoorbeeld stelling 6.2.7 in Engelking, Algemene topologie). Dus de constante schoof met steel $ \ mathbf {Z} $ of $ \ mathbf {Z}/2 $ is zacht en (weer gebruikmakend van de paracompactness) zijn hogere cohomologie verdwijnt.

1
toegevoegd
interessant. wat zijn de ringtheoretische eigenschappen van de bijbehorende booleaanse ring $ C_0 (X, \ mathbb {Z}/2) $ (zonder eenheid), overeenkomstig uw topologische aannames?
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
Oké, ik zal een nieuwe vraag stellen.
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
Martin - geen idee, sorry! Dit kwam als een raar voorbeeld naar voren in een cursus die ik lang geleden heb gevolgd en gelukkig heb ik nog steeds de notities.
toegevoegd de auteur algori, de bron