Een variatie op de som van Minkowski

Ik moet met de volgende variatie van Minkowski-som werken:

Laat $ \ mathbb E $ een Euclidische ruimte zijn en $ K $ een convexe set in $ \ mathbb E \ times \ mathbb E $.   set   $$ K ^ + = \ {\\, x + y \ in \ mathbb E \ mid (x, y) \ in K \\, \}. $$

Merk op dat als $ K = K_x \ keer K_y $ voor sommige bolle sets $ K_x $ en $ K_y $ in $ \ mathbb E $, dan is $ K ^ + $ de gebruikelijke Minkowski-som van $ K_x $ en $ K_y $.

Questions:

  • Heeft iemand deze constructie overwogen?
  • Heeft het een naam?
7
Tot een factor van $ \ sqrt {2} $, ja.
toegevoegd de auteur Grégoire Cachet, de bron
@Robin, natuurlijk, maar ik heb veel meer algemene dingen nodig, waar geen projecties kunnen worden gedefinieerd. Meestal denk ik wat de juiste manier is om zoiets te noemen ...
toegevoegd de auteur crashmstr, de bron
@ François, ik heb een soort van rekenkunde nodig in de tangentiële kegel van de ruimte Alexandrov.
toegevoegd de auteur crashmstr, de bron
Is dit niet slechts een projectie van een convexe set in $ E \ times E $ op een bepaalde quotiëntruimte?
toegevoegd de auteur Marcio Aguiar, de bron
@Anton: wat voor soort meer algemene situatie?
toegevoegd de auteur François G. Dorais, de bron

1 antwoord

In additieve combinatoriek noemen we de sumset de Minkowski-som en schrijven deze als $ {\ mathbb E} + {\ mathbb E} $. We noemen dat wat je bedoelt over de "sumset langs een grafiek", en schrijven het als $ {\ mathbb E} + _ K {\ mathbb E} $, waarbij $ K $ elke grafiek is (je noemt het een subset van $ {\ mathbb E} \ times {\ mathbb E} $ en ik noem het een grafiek, maar het is hetzelfde!).

Voor een voorbeeld van deze terminologie in gebruik, kijk op dit artikel van Alon, Angel, Benjamini en Lubetzky. Ook toont een Google scholar search de terminologie in actie.

5
toegevoegd
Bedankt, "sumset" klinkt goed. Per ongeluk was het de eerste naam die ik bedacht ...
toegevoegd de auteur crashmstr, de bron
@ François: ik heb een aantal links toegevoegd.
toegevoegd de auteur JanC, de bron
Heb je een referentie of twee? Ik vind deze notatie nogal vreemd, dus ik zou het graag in context zien.
toegevoegd de auteur François G. Dorais, de bron