Is de afgekapte Brownse beweging van de klasse DL?

Let $W$ be a standard Brownian motion under given probability space. For a given constant $a$, $W^a$ is a truncated Brownian motion by stopping time $T^a = \inf(t>0:W(t) = a)$. That is, $W^a(t) = W(t \wedge T^a)$.
We want to consider the following question: Is the process $W^1$ of the class DL?

(Solution1): Yes. Indeed, for any fixed $t>0$, we can prove the collection of random variables $( W(s), 0< s< t)$ is uniformly integrable by definition, since $E [|W^1(t)|] < \infty$.

We geven een heel ander antwoord met behulp van de volgende propositie uit het probleem 1.5.19 (i) van boek [Karazas en Shereve 98].

[Propositie] Een lokale martingale van klasse DL is martingaal.

(Solution2): No. $W^1$ is strict local martingale, since $E [W^1(T^1)] = 1> E [W(0)]$. By [Proposition], $W^1$ is not of class DL.

In het bovenstaande hebben we volledig twee verschillende oplossingen verkregen. Waar is het fout?

3
Merk op dat $ E [| W ^ 1 (t) |] <\ infty $ niet voldoende is voor uniforme integreerbaarheid. $ \ Sup_ {0
toegevoegd de auteur Kate Gregory, de bron
Ja, er zijn veel redenen waarom dit proces UI is in elk interval $ [0, t] $. Maar men moet de definities recht houden, in het bijzonder zodat het duidelijk is dat het niet UI is op $ [0, \ infty) $ (hoewel $ E [W ^ 1 (t)] <\ infty $ voor elke $ t $).
toegevoegd de auteur Kate Gregory, de bron
Trouwens, je zou DL moeten definiëren. Ik weet dat het in Karatzas en Shreve is (en zichtbaar is op Amazon), maar het is niet gebruikelijk (of misschien zelfs standaard?).
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
Je hebt gelijk, $ E [| W ^ 1 (t) |] <\ infty $ is niet voldoende. Maar het zou voldoende zijn samen met de volgende propositie uit het Durrett-boek: stel dat $ X \ in L ^ 1 (\ Omega, \ mathbb F, \ mathbb P) $ en $ \ mathbb F _ {\ tau} \ subset \ mathbb F $ voor alle $ \ tau $, dan is $ Y_ \ tau = E [X | \ mathbb F _ {\ tau}] $ uniform integreerbaar. In het bovenstaande kunnen we $ W ^ 1 (\ tau) = E [W ^ 1 (t) | \ mathbb F _ {\ tau}] $ behandelen voor elke $ \ tau
toegevoegd de auteur Gennady Vanin Геннадий Ванин, de bron

2 antwoord

$W^a$ is in fact a martingale. To see this, write $W^a(t) = W(t \land T_a)$. See also Theorem 3.39 here.

Wanneer u een uitdrukking als $ \ mathbb {E} (W ^ a (T ^ a)) $ schrijft, neemt u impliciet aan dat $ W ^ a (T ^ a) $ meetbaar is. Dit vereist $ t \ ge T_a $ (en trivialiseert de verwachting).

3
toegevoegd
Misschien denkt OP dat als $ W ^ a $ een martingale is, we $ E [W ^ a (T ^ a)] = E [W ^ a (0)] = 0 $ zouden moeten hebben door de facultatieve steekproefstelling ( bijvoorbeeld Karatzas en Shreve 1.3.22). Maar de optionele steekproefstelling is hier niet van toepassing omdat $ W ^ a $ geen "laatste element" heeft.
toegevoegd de auteur Kate Gregory, de bron
Bedankt, Nate. Ik ben het ermee eens dat $ W ^ 1 $ martingaal is, en optionele sampling is hier niet van toepassing. Hoewel $ \ mathbb {E} [W ^ 1 (T ^ 1)] = 1> W ^ 1 (0) $ correct is, zal het geen reden voor de strenge lokale martingaal worden.
toegevoegd de auteur Gennady Vanin Геннадий Ванин, de bron

Hallo Kenneth

Bekijk het volgende document http://www.ma. utexas.edu/users/gordanz/teaching/10_Spring_M385D/lecture16.pdf (In het bijzonder naar Propositions 16.24.16.25, 16.26 en 16.30)

Eerste $ W ^ 1 $ zal van klasse DL zijn zodra het een martingale is door voorstel 16.25. Dus laten zien dat $ W ^ 1 $ een martingale is, is voldoende om je bewering te bewijzen (die volgt uit Propositie 16.30 bijvoorbeeld als je weet dat een Brownse beweging een martingaal is)

Ten tweede is dit de reden waarom Solution 2 niet werkt Bij voorstel 16.26 als $ M_ \ tau $ in L ^ 1 staat voor elke begrensde stoptijd (wat hier het geval is).

We hebben $ X_t $ is een martingale als $ E [M_ \ tau] = E [M_0] $ voor elke begrensde stoptijd $ \ tau $.

Dit zijn de criteria die u probeert toe te passen om uw tegenstrijdigheid te krijgen.

Het probleem hiermee is dat $ T_1 $ bijna niet wordt begrensd, dus je kunt de voorgaande criteria niet toepassen om te laten zien dat $ W ^ 1 $ niet van klasse DL is.

Ik hoop dat ik geen fout heb gemaakt

vriendelijke groeten

1
toegevoegd
Kenneth, je hebt gelijk, Optioneel Sampling Stelling werkt voor het beperkt stoppen voor algemene martingalen. Maar als u Unifor Integrability-conditie had op uw martingales, dan heeft u de begrensdheidsvoorwaarde voor de stoptijd niet nodig en is het resultaat van toepassing in alle algemeenheid voor elke stoptijd.
toegevoegd de auteur PythonNut, de bron
Hallo, brug Bedankt voor je zorgvuldige antwoord, en ik ben het volledig met je eens. Maar ik heb nog steeds een vraag over de optionele bemonsteringsstelling in het boek [Karazas en Shreve 1998]: voor een martingale $ X_t $ met het laatste element, $ E X_T = X_0 $ voor het stoppen van de tijd $ T $. Ik heb begrepen dat optionele sampling werkt op "bounded" $ T $. Anders bereiken we de volgende tegenstrijdigheid: $ W ^ 1 $ is een martingale met laatste element $ W ^ 1_ \ infty = 1 $. $ T ^ 1 $ is een stoptijd. Maar $ E W ^ 1 (T ^ 1)> W ^ 1 (0) $. Heb ik iets verkeerd begrepen uit het boek [Karazas and Shreve 1998]?
toegevoegd de auteur Gennady Vanin Геннадий Ванин, de bron
Ja, een martingale van klasse D voldoet ook aan optionele steekproeven. Dus $ W ^ 1 $ is van klasse DL maar niet van klasse D. Maar ik zag geen van beide vereisten in deze stelling uit het boek: begrensde stoptijd of uniforme integrabiliteit. Bedankt, Bridge.
toegevoegd de auteur Gennady Vanin Геннадий Ванин, de bron