Zijn de onderliggende ongerichte grafieken van twee mutatie-equivalente acrylische quiver isomorf?

Quiver mutation, defined by Fomin and Zelevinsky, is a combinatorial process. It is important in the representation theory of quivers, in the theory of cluster algebras, and in physics.

We consider a finite directed graph Q (aka a quiver) without loops and without 2-cycles which may contain parallel edges. Then Fomin-Zelevinsky associated with every vertex k of Q a new quiver μk(Q) which has again neither loops nor 2-cycles. Every μk is involutive in the sense that μkk(Q)=Q for every quiver Q and every vertex k. The precise definition may be found in Fomin-Zelevinsky's works on cluster algebras. In the theory of cluster algebras the quivers encode exchange relations.

U kunt Keller's java-programma raadplegen om de quiver-mutatie in actie te zien.

Hoewel quiver-mutatie een eenvoudige combinatorische definitie heeft, zijn veel natuurlijke vragen open of vertrouwen ze op geavanceerde technieken. Er is bijvoorbeeld geen recept (eenvoudig algoritme) om te beslissen of twee gegeven quivers van elkaar kunnen worden verkregen door een reeks mutaties.

Question: Suppose I start with an acyclic quiver Q. (That is, Q contains no oriented cycles.) After a sequence of mutations I get another acyclic quiver Q'. Does it follow that the underlying undirected graphs of Q and Q' obtained by ignoring the orientation of the edges are isomorphic as (undirected) graphs?

9
Als twee acyclische quivers mutatie-equivalent zijn, zijn hun Ginzburg dg-algebra's (die een triviaal potentieel hebben, omdat er geen cycli zijn om een ​​potentieel te construeren!) Afgeleid equivalent. Ik ben er vrij zeker van dat dit impliceert dat de trillingen van elkaar worden verkregen door een reeks APR kantelingen ...
toegevoegd de auteur Herms, de bron
(APR kanteling = mutatie bij een gootsteen of een bron, trouwens)
toegevoegd de auteur Herms, de bron
David, dit wordt bewezen in arxiv.org/abs/0906.0761 .
toegevoegd de auteur Herms, de bron
Mariano - zou je daar een referentie of bewijs voor kunnen vinden? Ik wil het graag zien.
toegevoegd de auteur sickgemini, de bron
Mariano, ik zie niet waar 0906.0761 het tweede deel van je verklaring bewijst, over mutatie bij de bron of zinken. Kun je preciezer zijn?
toegevoegd de auteur Jean-Denis Muys, de bron

3 antwoord

Twee acyclische quivers die mutatie-equivalent zijn, zijn altijd gerelateerd aan een reeks mutaties bij putten en bronnen. Dit wordt bewezen in het document van Caldero-Keller in 2006.

8
toegevoegd

Ik vermoed dat Mariano gelijk heeft:

Veronderstel dat $ Q $ en $ Q '$ acyclische en mutatie-equivalente trillingen zijn. Na het resultaat van Keller en Yang betekent dit, zoals Mariano opmerkte, dat hun Ginzburg dg-algebra's, zeg $ A $ en $ A '$, als equivalent zijn afgeleid. Deze equivalentie induceert een gelijkwaardigheid tussen de gegeneraliseerde clustercategorie van $ A $ en die van $ A '$ ( de gegeneraliseerde clustercategorie van $ A $ wordt gedefinieerd als het Verdier-quotiënt van de perfect afgeleide categorie van $ A $ door de begrensde afgeleide categorie van $ A $, het is goed gedefinieerd in de huidige situatie). Aangezien we zijn begonnen met acyclische quivers, valt de gegeneraliseerde clustercategorie van $ A $ samen met de gebruikelijke clustercategorie $ \ mathcal C_Q $ (en hetzelfde geldt voor $ Q '$).

De clustercategorieën $ \ mathcal C_Q $ en $ \ mathcal C_ {Q '} $ zijn dus equivalent. Daarom zijn hun Auslander-Reiten-quivers isomorf. De link tussen $ Q $ en $ Q '$ volgt dan uit dat feit. Preciezer:

De paden-algebra's van $ Q $ en $ Q '$ hebben hetzelfde weergavetype , vandaar $ Q $ is van Dynkin-type als en alleen als dat zo is $ Q '$, in welk geval de Auslander-Reiten-quiver van $ \ mathcal C_Q $ isomorf is voor $ \ mathbb {Z} Q/\ langle \ sigma \ rangle $ voor sommige automorphism $ \ sigma $ of $ \ mathbb {Z} Q $. Omdat de vertaling $ \ mathbb {Z} Q $ en $ \ mathbb {Z} Q '$ zijn zijn universele covers van $ \ mathbb {Z} Q/\ langle \ sigma \ rangle $ en $ \ mathbb {Z} Q'/\ langle \ sigma '\ rangle $, respectievelijk is er een isomorfisme $ \ mathbb {Z} Q \ simeq \ mathbb {Z} Q' $ (de bedekking wordt begrepen in de betekenis van "Spaties in representatietheorie afdekken" door Bongartz en Gabriel, Invent. Math. 65 (1982) n ° 3, 3331-378).

Neem nu aan dat noch $ Q $ noch $ Q '$ van het Dynkin-type is. Dan heeft de Auslander-Reiten trilling van $ \ mathcal C_Q $ een uniek verbonden component met slechts eindeloos veel $ \ tau $ -correcties , het wordt de 'overpoten' component genoemd, en het is isomorf naar $ \ mathbb {Z} Q $. Daarom $ \ mathbb {Z} Q \ simeq \ mathbb {Z} Q '$ in ieder geval.

Het isomorfisme $ \ mathbb {Z} Q \ simeq \ mathbb {Z} Q '$ impliceert dat de paden algebra's van $ Q $ en $ Q' $ equivalente begrensde afgeleide categorieën hebben en daarom $ Q $ en $ Q ' $ zijn gerelateerd aan een reeks reflecties (of APR-kantelingen, zie 4.8 in het artikel "Over de afgeleide categorie van een eindig-dimensionale algebra" van Happel, Coment. Math. Helv., 62 (1987) 339-389).

Er zou echter een kortere aanval moeten zijn.

5
toegevoegd

Waarom, Doc? Ik startte Keller's applet en muteerde in 5 minuten D5 in een andere D5, d.w.z. met verschillende verbindingen op hoekpunten. Ik denk dat dit de vraag niet helemaal beantwoordt, omdat ze isomorf zijn, maar het isomorfisme is geen identiteit op hoekpunten.

1
toegevoegd