Waarom vereist een niet-gegradueerde discrete wiskunde calculus?

Vaak hebben discrete wiskundelessen voor studenten in de VS een calculusvoorwaarde.

Hier is de beschrijving van de discrete wiskundecursus van mijn undergrad:

Een algemene introductie tot basic   wiskundige terminologie en de   technieken van abstracte wiskunde in   de context van discrete wiskunde.   De geïntroduceerde onderwerpen zijn wiskundig   redeneren, Booleaanse connectieven,   deductie, wiskundige inductie,   sets, functies en relaties,   algoritmen, grafieken, combinatorisch   redenering.

Hoe zit het met deze cursus suggereert dat rekenvaardigheden nuttig zouden kunnen zijn?

Is passeren van calculus slechts een signaal dat een student klaar is voor discrete wiskunde?

Waarom wordt geen discrete wiskunde aangeboden aan eerstejaars - of middelbare scholieren - die vaak een calculusachtergrond missen?

14
In plaats van het vragen van ONS, waarom niet HEN vragen?
toegevoegd de auteur Mark Ireland, de bron
Community wiki?
toegevoegd de auteur enmapping, de bron
Ik weet niet hoe het in de VS wordt gedaan, maar hier in Duitsland bevat de eerste calculuscursus een aantal wiskundige grondbeginselen zoals inductie, het Peano-axioma, de noties van sequenties en functies ... ze behoren eigenlijk tot de discrete wiskunde, maar de discrete wiskunde geeft er de voorkeur aan ze te gebruiken en ze vervolgens te introduceren. Natuurlijk is echte calculus niet nodig in discrete wiskunde tot veel later (en meestal hebben alle toepassingen van calculus in discrete wiskunde zelfs meer lineaire algebra nodig dan calculus).
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Om mijn vorige opmerking (rant?) Een beetje duidelijker te maken: in de VS, als een student je vertelt dat ze Calc 1 & 2 op de universiteit hebben gevolgd, heb je een goed idee van wat ze zagen (merk op dat er al variaties zijn; ook, ik heb het niet over wat de student weet ). Aan de andere kant, als iemand Discrete Math op zijn transcript heeft staan, heb je alleen het vaagste idee van wat er in die klas gebeurde.
toegevoegd de auteur 0tyranny 0poverty, de bron
Ik heb een groot probleem met deze vraag, en dat is de onuitgesproken veronderstelling dat er zoiets bestaat als 'niet-gegradueerde discrete wiskunde'. (Ik verwijt het OP niet, trouwens, iedereen doet het!) Het onderwerp is zo groot dat een UG-wiskundecursus alles kan bevatten (en soms zal bevatten), inclusief onderwerpen die erg op calculatie zijn gebaseerd. Asymptotische notaties, genererende functies, ik zou 2 solide semesters van calc willen in studenten voordat ik deze onderwerpen aansnijd. Het onderscheid tussen discrete en calc is om te beginnen arbitrair, of verschijnt althans niet in applicaties, vandaar de benaming "Concrete Math".
toegevoegd de auteur 0tyranny 0poverty, de bron
Vorig jaar begeleidde ik een kind in de afdeling computerwetenschappen "discrete wiskunde", afwisselend met de afdeling wiskunde. De lezingen gingen door ongelooflijke draaibewegingen om calculusargumenten te vermijden die echt alles zouden hebben vereenvoudigd. Dus mijn antwoord is dat de cursus die je wilt, heel moeilijk is, en in die situatie doen studenten het beter met de dingen die zich uitstrekken.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron

11 antwoord

Een belangrijk deel (mijn observatie was ongeveer 20-30% in Berkeley, wat betekent dat het op sommige scholen 100% moet benaderen) van eerstejaars studenten in de VS begrijpen geen vermenigvuldiging. Ze begrijpen wel hoe $ 38 \ times 6 $ te berekenen, maar ze begrijpen niet intuïtief dat als je $ m $ rijen met bomen en $ n $ bomen in elke rij hebt, je $ m \ times n $ bomen hebt. Deze studenten hadden leraren op de basisschool die puur wiskundeleer leerden en daarom wiskunde puur op het ritme onderwijzen. Omdat de studenten erg intelligent zijn en goed in patroonvergelijking en het onthouden van grote aantallen verschillende geheimzinnige regels (in plaats van de weinige verenigende concepten die ze nooit hebben geleerd omdat hun leraren ze nooit hebben geleerd), hebben ze het goed gedaan bij meerkeuzetests .

Deze studenten gaan worstelen in elke calculus cursus of een discrete wiskunde cursus. Het is echter gemakkelijker om ze allemaal op één plaats te hebben, zodat een instructeur ze allemaal tegelijk kan helpen. Om historische redenen was deze plaats de calculuscursus.

44
toegevoegd
De diagnose is correct, maar verwerven ze echt de nodige vaardigheden in de calculuscursus?
toegevoegd de auteur mreggen, de bron
@Deane & Alexander: parafraserend over een bekende kwinkslag, je kunt niet alle mensen de hele tijd helpen. Ik denk dat het zinvol is om mensen die op een wiskunde- of bèta-graad willen studeren eerst een studierichting op universitair niveau te laten volgen; als ze besluiten dat wetenschap niet hun ding is, zie ik daar tenslotte niets mis mee. Ik denk ook dat er een andere baan moet zijn voor liberale kunst majors die misschien nooit rekenen nemen, met een discrete wiskunde cursus die sets en structuren niet benadrukt; Veel scholen hebben zo'n cursus om aan de kwantitatieve redeneerbehoefte te voldoen.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Uitstekende diagnose! Ik kan hieraan toevoegen dat worstelen in calculus- en ODE-cursussen vaak te wijten is aan slechte voorbereiding op algebra, terwijl worstelingen in discrete wiskunde en abstracte algebra te wijten zijn aan compleet gebrek aan ervaring met abstracte concepten en abstract redeneren. Dus het is logisch om met calculus te beginnen.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
@Deane: vaak doen ze dat niet, maar de cynicus in mij zegt dat instructeurs of programma's die dit probleem niet opmerken en proberen dit probleem op de juiste manier op te lossen, net zo blij zijn dat dit probleem de verkeerde manier heeft opgelost, dat wil zeggen dat de student worstelt om redenen die hem of haar onduidelijk zijn en wordt ontmoedigd om verdere wiskunde te volgen. (Gezien de beperkingen van de middelen, is het oplossen van het probleem op de juiste manier voor de meeste studenten vaak geen haalbare optie.)
toegevoegd de auteur user3077, de bron
(Met het risico een discussie te beginnen) Ik ben het ermee eens dat de meeste studenten de vermenigvuldiging van gehele getallen niet begrijpen, en nauwelijks vermenigvuldiging van breuken begrijpen. Waarom geven wij (wiskundigen als gemeenschap) geen basisschool concepttests aan onze inkomende eerstejaars en onderwijzen we hen op hun niveau van begrip? Waarom laten we ze pagina's van calculusformules onthouden als ze de grondbeginselen van de rekenkunde niet begrijpen? Dus we hoeven ze niet langer dan een jaar te behandelen? Dat is ongelooflijk triest.
toegevoegd de auteur enmapping, de bron

Perhaps it's done to ensure a certain level of mathematical maturity. For example, here is what one author writes in the preface to his discrete mathematics text:

Dit boek is geschreven voor een tweedejaars cursus in Discrete Mathematics. [. . .] Er wordt van uitgegaan dat studenten een semester op college-niveau hebben afgerond. Deze aanname gaat voornamelijk over het niveau van de wiskundige volwassenheid van de lezers. Het materiaal in een calculus natuurlijk zal niet vaak worden gebruikt in de tekst.

(Eric Gossett, Discrete Mathematics with Proof, 2nd ed., John Wiley and Sons, 2009)

21
toegevoegd

Ik zie drie redenen.

Het genereren van functies is een voorbeeld van tools die worden gebruikt in discrete wiskunde. Calculus helpt zeker met hen te werken.

Binomiale coëfficiënten komen vaak voor in discrete wiskunde. Veel formules over deze coëfficiënten kunnen worden verwerkt door calculus.

Zelfs als je alleen geïnteresseerd bent in wat er gebeurt voor eindige sets van grootte n, wil je waarschijnlijk dat n op een bepaald punt naar het oneindige gaat, en dan zullen ononderbroken wetten, integralen en dergelijke natuurlijk verschijnen.

Toch denk ik dat het mogelijk is om een ​​beginnerscursus te geven in discrete wiskunde die niet afhankelijk is van calculus.

10
toegevoegd
"Veel formules over deze coëfficiënten kunnen worden verwerkt door calculus." U bedoelt waarschijnlijk: veel formules over deze coëfficiënten worden standaard behandeld in een calculuscursus.
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Wat de derde reden betreft, is er absoluut geen noodzaak waarom asymptoten moeten worden opgenomen in een discrete wiskundecursus. Hoewel exacte resultaten meestal belangrijk zijn voor asymptotiek, is er bijna geen stroom in de tegenovergestelde richting.
toegevoegd de auteur James Fee, de bron

In de context van zeer heldere middelbare scholieren met sterke wiskundige achtergronden, is het typisch om discrete wiskunde aan studenten te leren zonder calculus als vereiste te hebben. Dit is met name de norm, zowel bij het Ross-programma (waar studenten van het tweede jaar vaak een combinatorieklas hadden) als bij Mathcamp (waar veel discrete wiskundeclasses vaak zonder calculus worden gegeven als voorwaarde). Beide zomerprogramma's vermijden het lesgeven in calculus omdat het de middelbare scholieren verknoeit die vast komen te zitten aan het rekenen of ze het al weten of niet.

In het bijzonder is het goed mogelijk om formele differentiatie en integratie van vermogensreeksen te leren om functies te genereren zonder de traditionele differentiatie of limieten te bespreken. In feite hadden de Ross-probleemverzamelingen een probleem met het ontwikkelen van de basisprincipes van calculus voor polynomen (lineariteit, Leibniz-regel, enz.) Zonder ooit grenzen te bespreken. Op dat moment had ik al calculus geleerd, maar niet alle studenten. En de studenten die calculus niet wisten, hadden niet al te veel problemen met dat probleem. Het is zeker gemakkelijker dan te bewijzen dat de groep eenheden modulo p cyclisch is.

Dus de reden waarom zo'n vereiste vereist is voor een hbo-opleiding is niet dat het eigenlijk een logische vereiste is, maar in plaats daarvan om sociologische redenen in de trant van het antwoord van Alex.

9
toegevoegd
Aan de andere kant verschilt de gemiddelde student van ROSS/Mathcamp heel erg van de gemiddelde eerstejaars student op ongeveer 98% van de Amerikaanse universiteiten, en heel anders dan de gemiddelde wiskunde major bij meer dan 90% van de Amerikaanse universiteiten. (Beide zijn conservatieve schattingen - ik wil beide programma's niet beledigen.)
toegevoegd de auteur Dan Roberts, de bron
Ik leerde formele differentiatie in graad 4 en leerde (laat staan ​​te begrijpen) grenzen pas vanaf groep 7 of later, dus het is natuurlijk mogelijk. Maar ik zie niet waar differentiatie op een essentiële manier wordt gebruikt in een inleidende discrete wiskundecursus. Voor het genereren van functies (en dat is al combinatoriek), is gegeneraliseerde Newton binomiaal meestal voldoende.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Om de bewering van Noah te ondersteunen, heb ik topologie en abstracte algebra bij Mathcamp onderwezen zonder calculus als een voorwaarde zonder probleem.
toegevoegd de auteur pyko, de bron

Soms is het zelfs moeilijk om een antwoord te schrijven naar een discreet wiskundig probleem zonder een integraal of twee.

Example. The number of integer lattice points that satisfy the conditions $$-n\leq x,y,z\leq n,\quad -s\leq x+y+z\leq s$$ for some $n$, $s\in\mathbb N$, is equal to $$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{\sin \frac{2n+1}{2}t}{\sin\frac {t}{2}}\right)^3\frac{\sin \frac{2s+1}{2}t}{\sin \frac{t}{2}} dt. $$

6
toegevoegd
Nou dat is niet het soort discrete wiskundeprobleem dat je in een introcursus hebt geleerd
toegevoegd de auteur Campbell, de bron
Het zou een term zijn met een onderscheid in hoofdletters, dus ik doe dat liever niet, maar ik wil alleen maar zeggen dat de integrale formule niet per se de meest natuurlijke manier is om het op te schrijven ...
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Uhm ... is jouw voorbeeld niet eerder een eigenschap van deze integraal dan een formule voor het aantal roosterpunten? Ik bedoel, het aantal roosterpunten alle gehele voldoen -n <= x, y, z <= n -s <= x + y + z <= s kunnen gemakkelijk worden berekend met behulp school werkwijzen en wat gevalsonderscheid ...
toegevoegd de auteur James Fee, de bron
Waarom niet? Dit is een probleem uit hoofdstuk 1 van het boek Pólya-Szegö problems. Ik heb het zelf geleerd in een undergrad-cursus.
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron
Welnu, de roosterpunten kunnen worden geteld met behulp van een genererende functie. Maar ik weet niet hoe ik het antwoord in een compacte en elementaire vorm moet schrijven. Ik zou het op prijs stellen als je details geeft over wat je in gedachten hebt.
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron

Waar ik werk, krijgen de studenten van het eerste semester van de bètawetenschappen twee wiskundecursussen: een-variabele calculus en inleidende discrete wiskunde. Vanzelfsprekend kan de nadruk in de laatste cursus niet liggen op het oplossen van telfouten in termen van elementaire functies, aangezien calculus de belangrijkste tool is om deze te hanteren. De cursus bevat combinatoriek, grafentheorie en getaltheorie tot congruenties. Calculus is geen vereiste.

5
toegevoegd
Blijkbaar is een universiteit waar cursussen verkopen aan het maximum aantal studenten een hogere prioriteit dan het opleiden van hen, Victor.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
Ik kon veronderstellen dat het niet in de VS was vanuit je beschrijving van "onze standaard calculus cursus" :)
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Waar werk je?
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
... voor hen zijn wiskundelessen een reeks irrelevante hoepels die naar hen worden gegooid door mensen die ze afpersen voor geld. Als het doel om studenten te dwingen een wiskundelessen te volgen, ze (hopelijk) zowel kritische redeneervaardigheden als mogelijk nuttige wiskunde biedt, lijkt het er niet op dat zijn school hun 'opleiding' opoffert. Het is frustrerend liegen tegen (veel) studenten over hoe "ze calculus gebruiken in hun verdere studies" als je weet dat de overgrote meerderheid van hen dat niet zal doen - en gewoon weggaat met de overtuigde overtuiging dat "wiskunde moeilijk is en niet is voor hen."
toegevoegd de auteur Dan Smolinske, de bron
Dat is helemaal geen eerlijke beoordeling. Proberen een student in de zuivere geesteswetenschappen (of zelfs een bioloog) te overtuigen dat ze moeten weten hoe ze moeten integreren, is moeilijk - omdat de kansen groot zijn, hoewel ze misschien hun chequeboek in evenwicht brengen of hun investeringen op een bepaald moment onderzoeken, eerlijk gezegd zijn ze waarschijnlijk GEWONNEN Gebruik hun eerste semesterrekening niet. De van toepassing zijnde wiskunde wordt over het algemeen opnieuw ONDERWIJZEN in welke bioklassen dan ook in dezelfde vorm als ze zullen gebruiken, en voor de rest die het nooit zien, komt het opnieuw het bevestigt ...
toegevoegd de auteur Dan Smolinske, de bron
Onze standaard calculuscursus is gericht op strenge bewijzen, dus het is onrealistisch om te verwachten dat alle studenten er in het eerste semester voldoende op voorbereid zijn. We vertrekken van de volledigheidseigenschap van $ \ mathbb {R} $ en bewijzen de belangrijkste stellingen, zoals de theorie van de extreme waarde, de tussenliggende stelling, de Riemann-integrabiliteit van monotone functies, de Riemann-integrabiliteit van doorlopende functies en de fundamentele stelling van Calculus. Trouwens, de plaats waar ik werk is niet zo groot, en we kunnen niet veel calculuscursussen op maat maken, zoals in de VS.
toegevoegd de auteur Major Major, de bron
Als ik zeg waar ik werk, kan ik net zo goed helemaal geen pseudoniem hebben. De inleidende discrete wiskundecursus wordt aangeboden vanwege de vraag van de afdeling informatica. De CS-studenten zijn verplicht om rekening te houden, maar niet in hun eerste jaar. De CS-studenten moeten ook een inleidende kans- en statistiekcursus volgen en daarvoor is calculatie een vereiste. Kortom, we moeten onze vroegste cursussen aanpassen aan de behoeften van andere afdelingen. We hebben ook een minder veeleisende, kookboekrekencursus, voor studenten buiten de harde wetenschappen, zoals biologie.
toegevoegd de auteur Major Major, de bron

In het kader van universiteitsstudenten ben ik het eens met de verklaring van Alexander Woo. Trouwens, de beste en de slimste plaatsen vaak van calculus (dat is het geval bij Yale, en ik denk dat het niet zo veel anders is in Berkeley), dus de percentages zwakke studenten op de beste scholen zijn niet zo erg als je zou kunnen denken.

Wat betreft de laatste vraag,

"Why isn't discrete mathematics offered to high school students without calculus background?"

Dat is niet alleen mogelijk, maar in het verleden was het ook de norm binnen het curriculum 'Nieuwe wiskunde', toen iedereen op de middelbare school moest leren over sets en functies. Dit eindigde in een PR-ramp en een enorme terugslag tegen wiskunde, omdat generaties studenten verloren waren gegaan en werden uitgeschakeld door wiskunde voor het leven; sommigen van hen werden later politici die onze financiering bepaalden. Daarom werd het verlaten. (Blijkbaar werd calculus in HS geïntroduceerd als onderdeel van hetzelfde pakket en overleefd.)

I'd be interested to know if there are any high school – college partnerships that offer discrete mathematics to H.S. students with strong analytical skills, and how do they handle the prerequisites question.

4
toegevoegd
Dat is meer statistisch betrouwbaar dan wie, maar wie moet het gebruiken? Iedereen of alleen wiskunde/CS studenten + die anderen, inclusief liberale kunst majors, die het (uit verschillende opties) kiezen om te voldoen aan de wiskundig/kwantitatief redeneerplicht?
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Alleen mensen die voornemens waren om CS majors te worden, moesten dit doen. Dit was in 2003 als ik het me goed herinner.
toegevoegd de auteur user3077, de bron
Mijn percentage guestimate komt voort uit TAing een inleidende CS-cursus die bijna onmogelijk was om uit te zetten. Ze zijn echt zo nijdig. Het is gemakkelijker om door de calculus te komen zonder dit probleem op te merken. Gezien de meeste wiskundeleraren op de middelbare school nooit iets over sets en functies hebben geleerd, is het niet verrassend dat alle studenten verloren waren.
toegevoegd de auteur user3077, de bron

Toen ik 30 jaar geleden in Buffalo was, pleitte Tony Ralston voor lesgeven in discrete wiskunde in plaats van calculus voor 1ejaars studenten. Ik leerde het uit enkele aantekeningen die hij had voorbereid en vond dat de studenten het moeilijker vonden dan calculus. Het was gemakkelijker om calculusonderwerpen te relateren aan dingen die ze al wisten dan om dat te doen voor de onderwerpen in zijn aantekeningen.

Ik ben er vrij zeker van dat die aantekeningen een leerboek zijn geworden, dus je kunt waarschijnlijk een exemplaar krijgen en het idee van één man zien van wat er vóór de calculus aan studenten moet/kan worden geleerd.

4
toegevoegd

Hoewel calculus niet vaak wordt gebruikt in de discrete wiskunde, is het goed om te weten dat de studenten op zijn minst enige blootstelling hebben gehad aan sets en functies. Ik ben deze zomer discreet lesgeven en merk dat ik zeg "je hebt dit in de calculus gezien" wanneer je het hebt over verschillende fundamentele concepten.

Bij het doen van proeven in een calculuscursus probeer ik meestal de fundamentele concepten uit de cursus aan te wijzen die nodig zijn en in een afzonderlijke cursus het feitelijke proces van hoe een bewijs nader wordt bestudeerd. Nogmaals, het is leuk om te weten dat de studenten in ieder geval eerder bewijzen hebben gezien en dat we op deze blootstelling kunnen voortbouwen.

3
toegevoegd
Het kan je schokken, maar de meeste studenten zien zelfs geen bewijzen in de calculus, en van degenen die dat wel doen, houden maar heel weinig iets vast.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Het schokt me niet echt. Wat ik bedoelde was dat zelfs als ze een schets van een bewijs zagen, ze tenminste enige blootstelling aan het proces hebben.
toegevoegd de auteur zwol, de bron

Today I came across the following article that might be of interest: Has Our Curriculum Become Math-Phobic? by Keleman et al. The authors address mathematics in the computer science curriculum and advocate the early introduction of discrete mathematics.

2
toegevoegd

Dit is al een tijdje inactief, maar het is de moeite waard om erop te wijzen de ACM-aanbevelingen , wat in essentie zegt wat JW zegt - maar ik heb niet voldoende rep om dat antwoord te stemmen of erop te reageren, dus geef ik de link hier voor diegenen die op zoek zijn naar info. De ACM heeft ook calculus aanbevolen in deze set van recs , terwijl de update gaat meer over het kern CS curriculum. Het is ook de moeite waard om te vermelden dat de ACM meer gericht is op "gezond redeneren", niet "formeel symbolisch bewijs", in haar richtlijnen. Dat betekent niet noodzakelijkerwijs minder wiskundig, van wat ik kan vertellen.

2
toegevoegd