De hogere structuur van de drijvende cochains van de diagonaal in CP ^ x CP ^ n

Ik probeer een beetje Lagrangian Floer-theorie te leren en ik hoopte dat iemand de volgende berekening zou kunnen uitleggen. Beschouw CP ^ n x CP ^ n met de vorm (omega, -omega) en de diagonale Lagrangiaan L. Nu is de FH * (L, L) isomorf voor de kwantumcohomologie van CP ^ n als een ring. Hoe zit het met de hogere A-oneindigheid structuur op de Floer cochains, CH * (L, L)? Kunnen we dit op een redelijke manier berekenen? Ik zou dit graag zelfs voor CP ^ 1 willen begrijpen, hoewel ik vermoed dat dit op de een of andere manier duidelijk zal zijn. Is er een manier om dit uit de Gromov Witten-invarianten van CP ^ n te halen?

3

1 antwoord

Hier is een argument dat de diagonale Lagrangiaanse correspondentie $ \ Delta $ in $ \ mathbb {C} P ^ n \ times \ mathbb {C} P ^ n $ formeel is. Dat wil zeggen, zijn Floer cochains $ CF ^ \ ast (\ Delta, \ Delta) $, als een $ A_ \ infty $ -algebra over het rationele Novikov veld $ \ Lambda = \ Lambda_ \ mathbb {Q} $ (zeg), zijn quasi-isomorf aan de onderliggende cohomologie algebra $ HF ^ \ ast (\ Delta, \ Delta) \ cong QH ^ \ ast (\ mathbb {C} P ^ n; \ Lambda) $ met triviale $ A_ \ infty $ operaties $ \ mu ^ d $ met uitzondering van het product $ \ mu ^ 2 $.

Wees kritisch; Ik ben misschien uitgegaan!

Schrijf $ A $ voor $ QH ^ \ ast (\ mathbb {C} P ^ n; \ Lambda) = \ Lambda [t]/(t ^ {n + 1} = q) $. Hier is $ q $ de Novikov-parameter. Ik beweer dat $ A $ intrinsiek formeel is, wat betekent dat elke $ A_ \ infty $ -structuur op $ A $, met $ \ mu ^ 1 = 0 $ en $ \ mu ^ 2 $ het product op $ A $, kan worden gewijzigd door een verandering van variabele, zodat $ \ mu ^ d = 0 $ voor $ d \ neq 2 $.

Stel inductief voor dat we de $ d $ -voudige producten $ \ mu ^ d $ voor $ 3 \ leq d \ leq m $ kunnen doden. Dan is $ \ mu ^ {m + 1} $ een cyclus voor het Hochschild (cyclische bar) complex $ C ^ {m + 1} (A, A) $. De belemmering om het te doden door een verandering van variabele (waarbij de termen van de lagere orde onaangeroerd blijven) is zijn klasse in $ HH ^ {m + 1} (A, A) $. Maar $ A $ is een eindig uitbreidingsveld van $ \ Lambda $ (en om veilig te zijn, staan ​​we in char zero). Dus, zoals bewezen in Weibel's homologische algebra boek, $ HH ^ \ ast (A, A) = 0 $ in positieve graden, en daarom werkt de inductie. Als je een beetje voorzichtig bent met wat 'verandering van variabele' eigenlijk betekent in termen van krachten van $ q $, dan besluit men intrinsieke formaliteit.


Je hebt een veel meer geometrische suggestie gemaakt - om GW-invarianten aan te roepen. Als je $ \ Delta_M \ subset M \ keer M $ meer in het algemeen wilt behandelen, denk ik dat dit een goed idee is, hoewel ik niet meteen een geschikte referentie kan bedenken. Men kan tonen met behulp van open-gesloten TQFT-argumenten dat $ HF (\ Delta_M, \ Delta_M) $ isomorf is voor Hamiltonian Floer cohomology $ HF (M) $. Men zou dit op cochain-niveau kunnen doen en daarmee aantonen dat het $ A_ \ infty $ product $ \ mu ^ d $ of $ HF (\ Delta_M, \ Delta_M) $ overeenkomt met de bewerking in de gesloten string TCFT van Hamiltonian Floer cochains die van een geslacht nul oppervlak met $ d $ inkomende lekke banden en één uitgaande punctuur (en variërende conformistische structuur). Via een "PSS" isomorfisme met $ QH (M) $, zouden deze bewerkingen dan berekenbaar moeten zijn als gen GW-invarianten (of in ieder geval moeten de Massey-producten op cohomologieniveau afgeleid van de $ A_ \ infty $ -structuur zijn GW-invarianten).

6
toegevoegd
Daniel, bedankt voor je reactie. Mijn referentie voor de algebra is Seidel's "Homologische spiegelsymmetrie voor het kwartoppervlak", sectie 3. Strikt genomen is de indelingssituatie niet helemaal hetzelfde als die van hem (namelijk, de indeling van $ A $ is periodiek). Dus dat is een plek om te controleren op mazen in de wet. Ik weet niet genoeg over Koszul dualiteit om de betekenis van je waarneming te begrijpen ...
toegevoegd de auteur Hairy, de bron
Ik kan geen fout vinden in de volgende verklaring ... Laat $ A $ een mod 2-gesorteerde $ A_ \ infty $ -algebra zijn over een veld, met $ \ mu ^ 1 = 0 $. Stel dat $ HH ^ d (A, A) = 0 $ voor elke $ d> 2 $. Vervolgens kan elke $ A_ \ infty $ -structuur $ A '$ op $ A $ (met $ \ mu ^ 1_ {A'} = 0 $ en $ \ mu ^ 2_ {A '} = \ mu ^ 2_A $) worden gebagatelliseerd door een "maattransformatie", dat wil zeggen een $ A_ \ infty $ -homomorfisme $ A \ tot A '$ waarvan de leidende-ordeterm de identiteit is.
toegevoegd de auteur Hairy, de bron
Kijkend naar Dyckerhoff's Stelling 4.7 - de $ A_ \ infty $ -structuur die je beschrijft lijkt te corresponderen met de superpotentiële $ w = x ^ 2 + x ^ n $ (niet $ x ^ n $). De Jacobiaanse ring van $ w $ (die door Dyckerhoff's Cor. 5.5 de Hochschild-cohomologie is van de dg-categorie van matrixfactoren van $ w $) is het grondveld! Lost dit het probleem op?
toegevoegd de auteur Hairy, de bron
Ik weet niet zeker hoe dit argument werkt ... Ik maak zeker een fout, maar stel je een A-oneindigheidsalgebra voor op een vectorruimte van dimensie 2, met een eenheid in graden nul en met een generator e in graad 1, zodanig dat de vermenigvuldiging is zoals gezegd, bijvoorbeeld, e ^ 2 = 1. HH * (A) verdwijnt, maar als ik de situatie begrijp, zijn er mogelijk enkele niet-triviale hogere oneindigheidstructuren, namelijk men kan een hogere vermenigvuldiging hebben e (tensor n-tijden) -> 1. Dit is Koszul dual voor de gebogen algebra k [x], x ^ n, waarvan de HH * de Jacobiaanse ring is ... Wat mis ik?
toegevoegd de auteur Frostfyre, de bron
De HH * (A) is gelijk aan de HH * van de categorie matrixfactoren over k [x] met gebogen x ^ n, dit feit staat in het document van Dyckerhoff over het onderwerp (ik geloof in paragraaf 4.5). wat de Jacobiaanse ring is. Ik denk dat dit iets waardevols is ... maar ik weet het niet zeker. Ik heb echter geen mening over de oorspronkelijke vraag, behalve dat op Y = P ^ 1 x P ^ 1, mijn beperkte intuïtie zegt dat diagonaal en anti-diagonaal zouden moeten genereren, dus misschien kan iemand in dit geval afleiden wat de categorische structuur is. door alleen de HH * (Fuk (Y)) (die we kennen) te begrijpen en achteruit te werken ...
toegevoegd de auteur Frostfyre, de bron
Inderdaad, ik was in de war. Bedankt voor de verduidelijking!
toegevoegd de auteur Frostfyre, de bron