Noodzakelijke en voldoende criteria om niet-triviale afleidingen te laten bestaan?

Of weet iemand van een aantal handige voorwaarden om te controleren of een ring (of meer in het algemeen een semiring) niet-triviale afleidingen heeft? (Door niet-triviaal, bedoel ik dat ze niet alles platdrukken tot aan de additieve identiteit.) Een deel van de motivatie hiervoor is dat ik er onlangs over nadacht en moeite had met het vinden van een goed voorbeeld van een semiring met een interessante afleiding.

De multiplicatieve Banach-algebra van positieve functies is bijvoorbeeld een algebra van het halfveld van niet-negatieve realen. De gebruikelijke definitie voor afgeleide breekt echter af vanwege het feit dat u positieve functies met een negatieve helling kunt hebben. Dus, dit brengt me ertoe om me af te vragen of er enige semiringen met afleidingen zijn?

Als gerelateerde vraag is er een bekende classificatie van alle afleidingen voor een algebra? Het voelt alsof dit een vrij standaard ding zou moeten zijn, maar ik denk niet dat ik het ooit in een van mijn cursussen ben tegengekomen en mijn aanvankelijke googelen was niet al te succesvol om referenties te vinden.

2
Ja dat is correct.
toegevoegd de auteur Xian, de bron
Ik neem aan dat je bedoelt dat alle ringen (en semiringen) in dit geval commutatief zijn?
toegevoegd de auteur martinatime, de bron

3 antwoord

Er is een idee van een universele afleiding voor een algebra. Ik neem aan alles is commutatief voor simiplcity. Als $ A $ een $ k $ -algebra is ($ k $ een commutatieve ring) dan is er een $ A $ -module $ \ Omega_ {A/k} $, de module van Kahler-verschillen van $ A $ over $ k $ en een $ k $ -betaling $ d: A \ to \ Omega_ {A/k} $ wat universeel is voor derviations van $ A $. Dat wil zeggen, als $ \ delta: A \ tot M $ een $ k $ -derivatie is van $ A $ naar een $ A $ -module, dan $ \ delta = f \ circ d $ voor een uniek $ A $ - module homomorfisme $ f $.

Er is een expliciete omschrijving van $ \ Omega_ {A/k} $ als $ I/I ^ 2 $ waar $ I $ het ideaal in de ring is $ B = A \ otimes_k A $ wat de kernel is van de kaart $ \ mu: B \ tot A $ met $ \ mu (x \ otimes y) = xy $. Dan $ d $ kaarten $ x \ in A $ tot $ 1 \ αimes x-x \ ot maal 1 $. Dus om een ​​afleiding te vinden van $ A $ met waarden in je favoriete $ A $ -module $ M $ alles wat je hoeft te doen is een vinden $ A $ -homorofisme van $ \ Omega_ {A/k} $ tot $ M $. Natuurlijk $ \ Omega_ {A/k} $ kan moeilijk zijn om concreet te bepalen, en zelfs als dat mogelijk is, misschien het is misschien niet eenvoudig om een ​​homomorfisme daarvan te vinden in $ M $. Inderdaad het gebruik van deze methode is misschien niet eenvoudiger dan direct een afleiding vinden :-)

Zie voor meer informatie de commutatieve algebra-teksten van Eisenbud of Matsumura.

4
toegevoegd
Bedankt! Dat beantwoordt precies de tweede vraag, en in combinatie met het onderstaande artikel lost het min of meer vast wat ik vroeg.
toegevoegd de auteur Xian, de bron

De Banach-algebra van begrensde functies op een eindige reeks blijkt semisimple te zijn en draagt ​​daarom geen niet-nulafgeleiden door de resultaten van Johnson, BE "Continuïteit van afleidingen op commutatieve algebra's". Amer. J. Math. 91 , 1 (1969) .

2
toegevoegd
Dat gezegd hebbende, als de set van nature wordt gerealiseerd als een "in evenwicht gebrachte" set in $ \ mathbb {R} ^ n $, kan men Lagrange-interpolatie gebruiken om "effectieve" afleidingen te definiëren. Dit is in het bijzonder uitvoerbaar in het geval van de reeks niet-negatieve meervoudige indices met vast gewicht. Ik zou op een dag willen proberen dit feit toe te passen op renormalisatie van theorieën over roostermetingen.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron

For your question in the second paragraph, any semiring can be embedded in one with non-trivial derivation.

1
toegevoegd