Criteria voor begrensde vermogensreeksen

Overweeg een krachtreeks $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n $ die convergent is voor alle echte x, dus een functie definiëren $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $. Kan men de noodzakelijke en voldoende criteria geven om de volgorde van de coëfficiënten $ (a_n) $ te halen, zodat $ f $ wordt begrensd op $ \ mathbb {R} $? (Laten we het triviale geval negeren dat $ a_0 $ de enige niet-nul coëfficiënt is en laten we een reeks "function-bounded" noemen als de vermogensreeks wordt begrensd.) Criteria voor begrensdheid lijken veel moeilijker te verkrijgen dan de gebruikelijke criteria voor convergentie van een vermogensreeks, hier enkele opmerkingen:

a) Een noodzakelijke voorwaarde voor $ \ sum_n a_n x ^ n $ om te worden begrensd is dat er oneindig veel niet-nul coëfficiënten zijn die oneindig vaak van richting veranderen.

b) De boundedness van $ f $ is een "onstabiele" eigenschap van de reeks coëfficiënten: elke niet-nul verandering in een eindige subset (behalve $ a_0 $) zal de begrensdheid vernietigen. Dus de lineaire deelruimte van alle functie-begrensde sequenties is nogal "schaars" in de vectorruimte van alle sequenties die convergerende vermogensreeksen vertegenwoordigen.

c) Anderzijds bevat de lineaire deelruimte van alle functie-begrensde sequenties minstens alle krachtige reeksen functies die kunnen worden geschreven als $ \ cos \ circ h $ met $ h $ een volledige, reëel-analytische functie, en de algebraïsche bereik van deze functies. Men zou kunnen veronderstellen dat deze ruimte al de ruimte is van alle begrensde functies die kunnen worden weergegeven als vermogensreeksen [EDIT: lijkt te worden weerlegd, cf. laat je opmerking beneden achter]. En misschien kan dit een startpunt zijn voor het afleiden van de criteria.

EDIT (vermoeden toegevoegd): Het is waar, dat elke machtsserie $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n $ die convergent is voor alle echte $ x $ alleen kan worden gewijzigd door de tekens van de termen te veranderen in een convergerende macht reeks $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ epsilon_n a_n x ^ n, \ quad \ epsilon_n \ in \ {\ pm1 \} $ die wordt begrensd voor alle echte $ x $?
Voorbeeld: Men kan de tekens van de machtreeksen van de exponentiële functie $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ n/n! $ Vrij eenvoudig aanpassen aan een begrensde machtreeks door $ \ epsilon_n = + 1 $ voor $ n = 0 of 1 \ mod 4 $ en $ \ epsilon_n = -1 $ voor $ n = 2 of 3 \ mod 4 $, wat de functie $ \ sin (x) + \ cos (x) $ oplevert. (Men kan de tekens vrij gemakkelijk een beetje verder wijzigen zodat de vermogensreeks niet alleen wordt begrensd op de reële as, maar ook op de imaginaire as - maar dit is hier niet de vraag). Ik ben er niet in geslaagd om een ​​tegenvoorbeeld te vinden, noch om dit vermoeden over te nemen.

EDIT2: Bedankt voor de mooie tegenvoorbeeld. Ik zou het vermoeden als volgt willen verbeteren: definieer een machtreeks $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n $ als niet-dominant, als voor alle $ x \ in \ mathbb {R} $ het absolute waarde van elke term $ a_kx ^ k $ is kleiner of gelijk aan de som van de absolute waarden van alle andere termen: $ | a_kx ^ k | \ le \ sum_ {n \ neq k} | a_n x ^ n | $. Het verbeterde vermoeden is: Is waar, dat elke niet-dominante machtsserie $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n $ die convergent is voor alle echte $ x $ alleen kan worden gewijzigd door de tekens van de termen voor een convergente machtsserie $ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ epsilon_n a_n x ^ n, \ quad \ epsilon_n \ in \ {\ pm1 \} $ die is begrensd voor alle echte $ x $?

25
Het laatste voorbeeld suggereert dat de coëfficiënten $ a_n $ niet te snel naar nul zouden moeten neigen. Idealiter zou een karakterisering afzonderlijke voorwaarden moeten geven over de mate van verval van de coëfficiënten en de verdeling van hun tekens.
toegevoegd de auteur Tom Duckering, de bron
Het verbeterde vermoeden blijkt waar te zijn, maar om een ​​triviale reden: de definitie van een convergente niet-dominante reeks impliceert dat deze nul is (denk aan tegenstrijdigheid de eerste niet-nultermijn $ a_k $ en laat $ x \ to0 $). Een zwakkere definitie van non-dominantie kan echter tot interessante resultaten leiden.
toegevoegd de auteur Tom Duckering, de bron
Grote vraag.
toegevoegd de auteur zdan, de bron
Veel dank voor die opmerking. Ik had er een beetje over nagedacht voordat ik de vraag stelde zoals ik deed, maar ik was niet blijven denken in deze zin, omdat ik vooral geïnteresseerd ben in een "echte analyse" -oplossing, en het is natuurlijk niet waar dat f wordt begrensd als en alleen als alle nullen (in Weierstrass-ontbinding) echt zijn. Maar ik zal opnieuw nadenken over het benaderen van het probleem via Weierstrass.
toegevoegd de auteur Johan Danforth, de bron
Dit is een open probleem, volgens de Open Problem Garden, hoewel ik me niet bewust ben van de recente voortgang van het probleem: garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/…
toegevoegd de auteur sequentiallee, de bron
Zonder te proberen diep genoeg te zijn, geloof ik nauwelijks dat een aardig criterium kan bestaan ​​door middel van de Taylor-coëfficiënten. De Weierstrass-producten ( en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem ) zien er natuurlijker uit in de context .
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron
Zelfs je eerste afgeleide kan onbegrensd zijn, als $ \ cos x ^ 2. $ Dus, voor een eenvoudiger probleem, kun je die functies karakteriseren waarvoor elke afgeleide ook is gebonden? De vergelijking hoeft niet nuttig te zijn, maar ik denk aan Sterke velden, die meestal slechts in één richting worden gedefinieerd.
toegevoegd de auteur Will Jagy, de bron

1 antwoord

Ik denk dat het aardige toegevoegde vermoeden tot de kern van het probleem gaat, maar het moet worden aangepast omdat het niet blijft zoals het is.

Beschouw bijvoorbeeld een hele functie $ f (x): = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n $ with

$$ | a_n | = 3 ^ {- n ^ 2} $$.

dan is $ f $ onbegrensd op $ \ mathbb {R} $ omdat we, voor alle $ a \ in \ mathbb {N}: $

$$\left|\ f(3^{2a})\right| \geq 3^{a^2} -\sum_{n\neq a} 3^{n(2a-n)}\geq 3^{a^2}\left( 1-2\sum_{k>0 }3^{-k^2}\right)\ge \frac{3^{a^2}}{4}.$$

5
toegevoegd