Een diophantische vergelijking omzetten in een elliptische curve

Ik hoorde dat het volgende probleem ertoe leidde om de rationele punten van een elliptische curve te bepalen:

Voor de gehele getallen $ n $ zijn er gehele getallen $ x, y, z $, zodanig dat $ x/y + y/z + z/x = n $. Kan iemand me laten zien waarom deze vraag leidt tot de theorie van elliptische krommen?

13
Als u uw vergelijking vermenigvuldigt met xyz, krijgt u een homogene kubieke vergelijking. Standaardhandboeken over elliptische krommen zullen u dan vertellen hoe u dat moet omzetten in de vergelijking van een elliptische curve en wat u ermee moet doen. U kunt beginnen met Silverman-Tate.
toegevoegd de auteur Felipe Voloch, de bron

3 antwoord

Bijna 10 jaar geleden gaf ik een toespraak bij Wesleyan, en een heer genaamd Roy Lisker stelde me dezelfde vraag: herstel een integrale oplossing $ (x, \ y, \ z) $ en vervang de oplossing

$$ u = 3 \ \ frac {n ^ 2 z - 12 \ x} z \ qquad v = 108 \ \ frac {2 \ x \ y - n \ x \ z + z ^ 2} {z ^ 2} $ $

Dan is $ (u, \ v) $ een rationeel punt op de elliptische curve $ E_n: \ v ^ 2 = u ^ 3 + A \ u + B $ waarbij $ A = 27 \ n \ (24 - n ^ 3) $ en $ B = 54 \ (216 - 36 \ n ^ 3 + n ^ 6) $. (Het blijkt zelfs dat $ E_n $ een elliptische curve is wanneer $ n $ anders is dan 3, maar ik zal dit geval afzonderlijk bespreken.)

Ik wil graag iets zeggen over de structuur van deze curve voor de experts:

Deze curve heeft het "voor de hand liggende" rationale punt $ T = (3 n ^ 2, 108) $ wat orde 3 heeft, gezien de groepsstructuur van $ E_n $. Het blijkt dat deze drie veelvouden overeenkomen met de gevallen $ x = 0 $ en $ z = 0 $, dus als een dergelijke integrale oplossing $ (x, \ y, \ z) $ bestaat, dan is de rationele oplossing $ (u, \ v) $ moet overeenkomen met een punt op $ E_n $ niet van bestelling 3. (Natuurlijk, ik geef niet om de cyclische permutatie $ x \ tot y \ tot z \ tot x $.)

In de volgende tabel bereken ik de Mordell-Weil-groep van de rationale punten op de elliptische curve, d.w.z. de groepsstructuur van de reeks rationele oplossingen $ (u, \ v) $:

$$ \begin{matrix} n & E_n(\mathbb Q) \\ \\ 1 & Z_3 \\ 2 & Z_3 \\ 3 & \text{Not an elliptic curve} \\ 4 & Z_3 \\ 5 & Z_6 \\ 6 & Z_3 \oplus \mathbb Z \\ 7 & Z_3 \\ 8 & Z_3 \\ 9 & Z_3 \oplus \mathbb Z \\ \end{matrix} $$

Dus wanneer $ n = $ 1, 2, 4, 7 of 8 vinden we geen integrale oplossingen $ (x, \ y, \ z) $. Wanneer $ n = 5 $, zijn er slechts zes rationale punten op $ E_n $, namelijk de veelvouden van $ (u, v) = (3, 756) $ die allemaal slechts één positief integraalpunt $ (x, y, z opleveren) ) = (2,4,1) $.

Something fascinating happens when $n = 6$... The rank is positive (the rank is actually 1) so there are infinitely many rational points $(u, \ v)$.  But we must be careful: not all rational points $(u, \ v)$ yield positive integral points $(x, \ y, \ z)$.  Clearly, we can scale $z$ large enough to always choose $x$ and $y$ to be integral, but we might not have $x$ and $y$ to both be positive.  You’ll note that $x > 0$ if only if $u < 3 \ n^2$, so we only want rational points in a certain region of the graph.  Since the rank is 1, this part of the graph is dense with rational points! Let me give some explicit numbers.  The torsion part of $E_n( \mathbb Q)$ is generated by $T = (75, 108)$ and the free part is generated by $(u,v) = (-108, 2052)$.  By considering various multiples of this point we get a lot of positive integral -- yet unwieldy! --  points $(x,y,z)$ such that $x/y + y/z + z/x = 6$:

$$\begin{aligned} (x,y,z) & = (12, 9, 2), \\ & = (17415354475, 90655886250, 19286662788) \\ & = (260786531732120217365431085802, 1768882504220886840084123089612, 1111094560658606608142550260961) \\ & = (64559574486549980317349907710368345747664977687333438285188, 70633079277185536037357392627802552360212921466330995726803, 313818303038935967800629401307879557072745299086647462868546) \end{aligned} $$

Ik zal terloops vermelden dat wanneer $ n = 9 $ de elliptische curve $ E_n $ ook rang 1 heeft. De generator $ (u, v) = (54, 4266) $ komt overeen met het positieve integraalpunt $ (x, y, z) = (63, 98, 12) $ op $ x/y + y/z = z/x = 9 $.

Hoe zit het met $ n = 3 $? De curve $ E_n $ wordt $ v ^ 2 = (u - 18) (u + 9) ^ 2 $. Dit geeft twee mogelijkheden: ofwel $ u = -9 $ of $ u \ geq 18 $. De eerste komt overeen met $ x = z $ terwijl de tweede overeenkomt met $ (z/x) \ geq 4 $. Door $ x $, $ y $ en $ z $ cyclisch te permitteren, vinden we op dezelfde manier dat ofwel $ x = y = z $ of $ x/y + y/z + z/x \ geq 6 $. Het laatste geval kan niet gebeuren door te veronderstellen dat $ x = y = z $ de enige mogelijkheid is, dwz $ (x, y, z) = (1,1,1) $ is de enige oplossing voor $ x/y + y/z + z/x = 3 $.

34
toegevoegd
De heer Roy Lisker is toevallig de vertaler van (delen van) "Recolte et Semailles" van Grothendieck in de Engelse taal: fermentmagazine.org/rands/recoltes1.html
toegevoegd de auteur Hans Stricker, de bron

Allan MacLeod's website Elliptische curven in Recreational Number Theory beschouwt dit probleem als een van vele andere interessante.

5
toegevoegd

I saw a video on youtube that explains a very similar jump: https://youtu.be/6eZQu120A80

1
toegevoegd