Generalisaties van groepsalgebras voor willekeurige variëteiten?

Bij de analyse van partiële differentiaalvergelijkingen op Euclidische spaties, is een van de meest bruikbare eigenschappen van de Fourier-transformatie (en de bijbehorende integraaltransformaties) dat ze differentiatie nemen en het in vermenigvuldiging veranderen, bijvoorbeeld

$ \ frac {\ partial ^ 2 y} {\ partial x ^ 2} = f (x) $

wordt de volgende veel eenvoudiger vergelijking in het Fourier-domein,

$ - \ omega ^ 2 \ widehat {y} = \ widehat {f} (\ omega) $.

Het onderliggende idee hier is dat differentiatie kan worden opgevat als een soort van oneindig kleine convolutie met een element van de Lie-algebra op $ \ Re ^ n $, en dus door de convolutiestelling kan het worden herschreven als een vermenigvuldiging in het frequentiedomein. Evenzo, voor differentiaalvergelijkingen op ruimten die diffeomorf zijn naar Lie-groepen (of diegene die toevallig homogene ruimtes van een Lie-groep zijn), kan dezelfde basistruc gebruikt worden:

Op een bol bijvoorbeeld kan men converteren naar sferische harmonischen, die eigenlijk alleen de beperking van de coëfficiënten voor de matrixrepresentaties van $ SO (3) $ zijn. De additionele stelling neemt dan dezelfde rol aan als de convolutie-stelling in de Euclidische zaak. Een analoog argument kan worden gemaakt voor cilinders, Bessel-functies en de groep $ SE (2) $.

Echter, in praktische toepassingen (zoals de soorten werktuigbouwkundige problemen waar ik ogenschijnlijk aan werkt), zijn de meeste domeinen waar PDEs zijn gedefinieerd niet echt uitgerust met enige getrouwe actie door een Lie-groep. Maar is er misschien een manier om dit werk toch te maken? Is het bijvoorbeeld redelijk om bepaalde soorten differentiële operatoren te beschouwen als misschien een oneindig kleine monoïde, of mogelijk een categorische, convolutie-operator? Dit lijkt intuïtief, maar ik weet niet echt waar ik naar bronnen moet zoeken. Het zou interessant zijn als dit perspectief zou kunnen worden gebruikt om gerelateerde Fourier-achtige transformaties te begrijpen, bijvoorbeeld de Chebyshev-transformaties.

3
Opmerking: men kan enkele "convolutie-achtige" operatoren op variëteiten of grafieken definiëren. Sommige mensen nemen bijvoorbeeld de mesh/graph-operator Laplacian en beschouwen de eigenvectoren als de juiste generalisatie van de Fourier-reeks. Als dit waar is, zou men achterwaarts kunnen werken vanuit de convolutiestelling en de convolutie van twee functies definiëren als de puntgewijze vermenigvuldiging van de eigenfuncties. Dit dwingt echter alle convolutie om commutatief te zijn, wat niet altijd wenselijk is (bijvoorbeeld in het geval van de bol ...)
toegevoegd de auteur Xian, de bron
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron

Geen antwoorden

0