De beroemde vijf-vergelijking interpreteren

$$ e ^ {\ pi i} + 1 = 0 $$

Ik ben op zoek naar een overtuigende interpretatie hiervan. Ik begrijp hoe het tot stand komt, maar wat is het dat het ons vertelt?

Het beste wat ik kan bedenken, is dat het alleen maar benadrukt dat de verschillende definities die wiskundigen hebben gegeven voor niet-intuïtieve handelingen (complexe exponentiatie, het concept van radialen enz.) Bijzonder geïnspireerd zijn. Ligt dat allemaal aan de basis van de gladheid van de beroemde vijf vergelijking?

Alle wijzers?

31
JHS: De FAQ zegt: "Het primaire doel van MathOverflow is dat gebruikers wiskundige vragen op het gebied van onderzoeksvragen stellen en beantwoorden, het soort vragen dat je tegenkomt als je aan het schrijven bent of artikelen leest of boeken met een graduaatniveau."
toegevoegd de auteur Zack Peterson, de bron
Ik stem om deze vraag als niet-onderwerp te sluiten, want hoewel het een doel had in die tijd, is het inmiddels zijn gangetje gegaan
toegevoegd de auteur Matt Miller, de bron
@BoPeng Nou, het is niet zo bizar, en dit is in feite hoeveel (Europese) studieboeken er zijn. Je introduceert $ \ cos $ en $ \ sin $ vanaf het complexe exponentiële, en $ \ pi $ als tweemaal de eerste nul van $ \ cos $ (wat in wezen gelijk is aan de voorgestelde definitie van QiaochuYuan). Het is waar dat de geometrische interpretatie nog moet worden gegeven, maar deze definitie van $ \ pi $ is duidelijk veel comfortabeler als het gaat om calculus.
toegevoegd de auteur eran, de bron
Ik denk dat het waarschijnlijk geen goed idee is om de formule gewoon als de definitie van $ \ pi $ te beschouwen en het als triviaal te beschouwen. Omdat dan nog steeds moet worden uitgelegd waarom deze $ \ pi $ dezelfde $ \ pi $ is in de gebruikelijke basisschooldefinitie op basis van de omstandigheid/gebied van een cirkel.
toegevoegd de auteur chris, de bron
@Vectornaut Eigenlijk is dit precies hoe $ \ pi $ is gedefinieerd in het boek Numbers (Ebbinghaus et al.), Of liever hoe $ 2 \ pi $ is gedefinieerd: als de positieve generator van de kernel van de Lie-groep homomorfisme $ \ mathbb {R} \ tot S ^ 1: t \ mapsto \ exp (it) $. Het is een perfect respectabele manier om het te definiëren.
toegevoegd de auteur Bill Blondeau, de bron
@Qiaochu Yuan: Ik lachte hardop toen ik je opmerking zag en bracht de volgende vijf minuten door met proberen te achterhalen of je serieus was. En mislukt.
toegevoegd de auteur Pacerier, de bron
Trouwens, waar komt de term 'beroemde vijf' vandaan? Wiskundigen noemen het dat niet. Komt het van enige popularisatie?
toegevoegd de auteur Mark Ireland, de bron
Stemmen om te sluiten? Dat is ongelofelijk...
toegevoegd de auteur tau1777, de bron
$ \ exp: \ mathfrak {lie} (S ^ 1) \ rightarrow S ^ 1 \ hookrightarrow \ mathbb {C} $ is een vrij natuurlijke kaart. Hoe dan ook, ik denk dat dit buiten het onderwerp valt. Stemmen om te sluiten.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron
Ik beschouw deze identiteit als de definitie van pi.
toegevoegd de auteur Assaf Lavie, de bron
Het is duidelijk dat deze formule niet als een definitie van $ \ pi $ kan dienen, omdat deze voor oneindig veel verschillende waarden geldt in plaats van $ \ pi $.
toegevoegd de auteur Emil Jeřábek, de bron
Moet deze vraag niet CW zijn?
toegevoegd de auteur Eric, de bron
Euler's constante e is verbonden met de hyperbool $ y = 1/x $ door de uitdrukking $ \ displaystyle \ int_1 ^ e \ frac1x ~ dx = 1. ~ $ Indien geroteerd door $ 45 ^ \ circ $ en geschaald met een factor $ \ sqrt2, $ wordt het $ x ^ 2-y ^ 2 = 1. $ De vergelijking van de eenheidscirkel is $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1. $ Door $ y \ te vervangen door iy $ in de eerste, we krijgen de laatste, en omgekeerd. Het zou dus geen verrassing moeten zijn als we op een dag een wiskundige identiteit tegenkomen die de drie bekende constanten verbindt: e , i en $ \ pi. $
toegevoegd de auteur Lucian, de bron

7 antwoord

$$ e ^ {i \ pi} = \ lim \ limits_ {N \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {iπ} {N} \ right) ^ N $$

alt text

129
toegevoegd
Een paar citaten over deze vergelijking van mensen die het serieus hebben nagedacht. Benjamin Pierce "Heren, het is absoluut paradoxaal, we kunnen het niet begrijpen en we weten niet wat het betekent, maar we hebben het bewezen en daarom weten we dat het de waarheid moet zijn." Lukoff & Nunez "De uitdrukking is logisch als, maar alleen als we begrijpen dat wiskunde bestaat uit de metaforische uitbreiding van vertrouwde begrippen in onbekende gebieden."
toegevoegd de auteur bobince, de bron
Dit is misschien wel het beste antwoord dat ik heb gezien op Math Overflow.
toegevoegd de auteur JanC, de bron
Echt heel leuk. Doet me denken aan een schattig argument dat in het prachtige boek over complexe analyse van Tristan Needham voorkomt. Zoals professor Needham zegt, geeft een persoon die een antwoord naar voren brengt van het type 'nou dat is maar een definitie' een knal voor een van Eulers grootste bijdragen aan Math.
toegevoegd de auteur tau1777, de bron
Bedankt, Kevin, dat is erg aardig van je. Het tegoed gaat echt naar Wikipedia :)
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron
Ja. En de 3D-vizualisatie van de formule van Euler is ook leerzaam en.wikipedia.org/wiki/ file: Euler% 27s_Formula_c.png
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron
toegevoegd de auteur stckvrw, de bron
Ik heb niet veel gedaan aan MO, maar ik heb net een gouden insigne aan iemand gegeven :)
toegevoegd de auteur yo', de bron

Ik wil iets toevoegen aan het visuele antwoord hierboven (of hieronder, of waar het ook terechtkomt). Pas toen ik in de veertig was, realiseerde ik me dat er een intuïtieve manier was om dat $ e ^ {i \ pi} = - 1 $ te begrijpen, in tegenstelling tot de afleiding van de power-reeks die op een of andere manier een beetje te formeel lijkt. (Wat ik ga zeggen, komt in de categorie dingen die ik toevallig voor mezelf bedacht, maar het is zo vanzelfsprekend dat kennelijk veel andere mensen dezelfde gedachte hebben gehad en ik wil absoluut geen enkele belachelijke prioriteit claimen. Ik heb het boek van Needham niet gelezen, maar ik durf te zeggen dat hij hetzelfde argument heeft.)

Waarom zou de limiet van $ (1 + i \ pi/N) ^ N $ gelijk zijn aan -1? Laten we, om dit te beantwoorden, eens nadenken over wat vermenigvuldiging met $ 1 + i \ pi/N $ doet. Nou, $ 1 + i \ pi/N $ heeft een modulus die heel dicht in de buurt komt van 1 (waarmee ik bedoel dat het een modulus $ 1 + O (N ^ {- 2}) $ heeft), en heel dicht bij $ \ pi/N $. Daarom is vermenigvuldiging met $ 1 + i \ pi/N $ ongeveer rotatie met $ \ pi/N $. Dus als je dit N keer doet, dan is het resultaat ongeveer rotatie met $ \ pi $, wat vermenigvuldigen met -1 is. De benaderingen zijn goed genoeg om dit argument redelijk gemakkelijk te maken.

74
toegevoegd
Daar ben ik het mee eens. Mijn antwoord hierop is dat het vrij eenvoudig is om te bewijzen dat de functie f (x) = lim (1 + x/n) ^ n de eigenschap f (x + y) = f (x) f (y) heeft.
toegevoegd de auteur Christi, de bron
De uitleg die Conway en Guy in The Book of Numbers gaven, ligt ook in de geest van deze twee antwoorden.
toegevoegd de auteur Bill Blondeau, de bron
Ik vind deze twee antwoorden echt leuk, maar ik kan het niet laten om te denken dat ze vergezeld moeten gaan van een even intuïtieve verklaring waarom $ \ lim_ {n \ tot \ infty} (1 + x/n) ^ n = e ^ x $ . Wat op zijn beurt neerkomt op een kwestie van het begrijpen van de exponentiële functie in de eerste plaats. Ik zeg niet dat dit moeilijk te bereiken is, maar het is iets dat ik zelden goed gedaan zie.
toegevoegd de auteur NotMe, de bron
Men kan de limiet ook interpreteren als convergentie van oplossingen naar Euler's numerieke schema $$ \ frac {\ phi_n- \ phi_ {n-1}} {\ pi/n} = i \ phi_ {n-1}, \ quad \ phi_0 = 1, $$ naar een oplossing van de ODE $$ \ punt {\ phi} = i \ phi, \ t \ in (0, \ pi]. $$
toegevoegd de auteur Wadelp, de bron

De antwoorden tot nu toe geven interpretaties van het exponentiële als een limiet van discrete benaderingen. Een alternatieve interpretatie is dat elke continue kaart die naast de vermenigvuldiging op de complexe regel optelt en reals naar reals meeneemt, een zuiver denkbeeldige kern isomorf is voor de gehele getallen. De constante $ e $ komt voort uit een normalisatie waarvoor eenheidssnelheidspaden op de imaginaire as naar eenheidssnelheidspaden op de eenheidscirkel worden genomen, en $ \ pi $ wordt dan weergegeven als padlengte. Een manier om de additive-multiplicatieve relatie te benadrukken, is door de formule uit te vouwen als: $ e ^ {\ pi i-0i} = -1/1 $.

Hier is een meer formele behandeling: zowel $ (\ mathbb {C} ^ \ times, \ times) $ en $ (\ mathbb {C}, +) $ zijn eendimensionale analytische groepen, en de laatste is eenvoudig verbonden, dus daar is een universeel bestrijkend homomorfisme $ \ exp: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ \ times $ van de additive group naar de multiplicatieve groep. Het homomorfisme is uniek zodra we een normalisatie kiezen, bijvoorbeeld door te eisen dat het analytisch is en voldoet aan de differentiaalvergelijking $ \ partial_z \ exp = \ exp $. De differentiaalvergelijking kan worden gerelateerd aan het homomorfisme, na het kiezen van coördinaten, door rekening te houden met de respectieve formele groepswetten of gewoon redenerend heuristisch met oneindig kleine dingen.

Claim 1: The function $\exp$ takes purely imaginary numbers to elements of unit norm.

Proof: The function $\exp$ takes additive inverses to reciprocals (because it is a homomorphism), and complex conjugates to complex conjugates (because it is defined over the reals). By composing, we find that reflection in the imaginary axis is taken to unit circle inversion, and fixed points are taken to fixed points.

Remarks: Note that the only part of the normalization we used here was the fact that $\partial_z \exp$ is a real multiple of $\exp$. The "defined over the reals" bit may be unsatisfying to some, but the conjugation behavior can be verified directly by expanding as a power series that converges everywhere, and checking that the coefficients are real. One can also prove the claim by more direct methods, such as applying the above differential equation to grind out the identity $\frac{\partial}{\partial y} | \exp(iy) |^2 = 0$.

Claim 2: $\exp(\pi i) = -1$.

Proof: By combining the previous claim concerning unit norms with the differential equation $\partial_z \exp = \exp$, we conclude that $\exp$ takes any unit speed path on the imaginary axis to a unit speed path on the unit circle. We have $\exp(0) = 1$ by the homomorphism assumption, and the length of a minimal path from $1$ to $-1$ on the unit circle is $\pi$.

Remarks: Depending on how $z \mapsto e^z$ is defined, one may still have to check that it agrees with $\exp$, but this isn't a big deal. I tried to avoid choosing square roots of minus one as much as possible, but the statement of the identity makes it a bit difficult to maintain such discipline.

20
toegevoegd

Wilde gewoon deze uitstekende illustratie van Euler's formule opnemen (het verdient het echt om hier op zichzelf te worden getoond en niet alleen als een link in een van de opmerkingen):

alt text

Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_formula

9
toegevoegd
Waarom de downvote ???
toegevoegd de auteur wordmonger, de bron

Beschouw de exponentiële kaart voor de Lie-groep $ U (1) $.

De formule $ e ^ {\ pi i} $ betekent: begin met het identiteitselement $ 1 $, blijf op reis "in de richting van $ i $" (wat eerst "omhoog gaat", omdat de denkbeeldige as natuurlijk gaat Maar deze richting verandert "in" op het $ \ mathbb {R} ^ 2 $ -vlak terwijl je beweegt! Uiteindelijk zul je dus bewegen onder de omstandigheid van de eenheidscirkel), en een afstand van $ \ pi $ lopen.

Waar kom je terecht? Je maakt een halve cirkel (afstand = $ \ pi $) en bereikt $ -1 $. Daarom $ e ^ {\ pi i} = -1 $.

Trouwens, ik denk dat het geen goed idee is om de formule gewoon als de definitie van $ \ pi $ te beschouwen en het als triviaal te beschouwen. Omdat dan moet worden uitgelegd waarom deze $ \ pi $ dezelfde $ \ pi $ is in de gebruikelijke definitie met behulp van de omstandigheid/gebied van een cirkel.

Dus de echte vraag gaat niet over $ \ pi $, maar over de reden waarom iets dat schijnbaar "alleen gerelateerd is aan een cirkel" iets te maken heeft met een algebraïsche uitdrukking met $ e $ en $ i $.

5
toegevoegd

Hoewel ik zou bijdragen met deze geanimeerde versie van vonjd's illustratie:

An animation.

Deze animatie is van hier .

4
toegevoegd
Dit is een gif-versie van het antwoord van @ vonjd.
toegevoegd de auteur Luca Bernardi, de bron
Excuseer me, want ik ben nog steeds aan het uitvinden hoe ik hier foto's kan plaatsen.
toegevoegd de auteur user85509, de bron
Ik heb de animatie toegevoegd. Bewerk uw bericht om te zien wat ik heb geschreven om dit te doen.
toegevoegd de auteur akrasia, de bron

Een manier om het exponentiële in te voeren is door de ODE:

$$ f '= \ alpha f, \ \ f (0) = 1, $$

wiens unieke oplossing $ t \ mapsto exp (\ alpha t) $ is. Dit komt vaak voor wanneer $ \ alpha $ natuurlijk is, maar wat als $ \ alpha $ complex is? En, in het bijzonder, wat als $ \ alpha = i $? Natuurlijk moet $ f $ een complexe waarde hebben in plaats van een reële waarde.

Dan $ f '= als $, dat wil zeggen, $ f' $ is de vector $ f $ geroteerd door $ \ pi/2 $ in de trigonometrische richting. Als we een moment vergeten over de complexe structuur, krijgen we:

$$ y '= x, \ x' = - y, \ \ f (0) = (x, y) (0) = (1,0). $$

Een oplossing van dit systeem is een traject waarvan de snelheid altijd rakend is aan de positievector. Maar dan is de functie $ (x, y) \ mapsto x ^ 2 + y ^ 2 $ een eerste integraal, dus het is constant langs trajecten. In het bijzonder blijft het traject vanaf $ (1,0) $ op de cirkel met straal $ 1 $ gecentreerd op $ 0 $. Maar sinds $ | f | $ constant is, is ook $ | f '| $: het traject beweegt met eenheidssnelheid langs deze straal van $ 1 $.

Aangezien het traject start vanaf $ 1 $, na een tijd $ \ pi $, zal het langs een halve omtrek zijn gereisd, dus het zal $ (- 1,0) $ zijn. Vanwaar $ exp (i \ pi) = -1 $.

@Andrey Rekalo's interpretatie van deze vergelijking is de methode van Euler toegepast op deze ODE.

3
toegevoegd