Involuties in GL_n (Z)

Is er een classificatie van involuties in $ \ text {GL} _n (\ mathbb {Z}) $?

Hier zijn wat meer details over wat ik bedoel. Overweeg $ f \ in \ text {GL} _n (\ mathbb {Z}) $ zodanig dat $ f ^ 2 = 1 $. Regard $ f $ als automorphism van $ \ mathbb {Z} ^ n $. Verleng $ f $ naar een automorfisme $ g $ of $ \ mathbb {Q} ^ n $. Dan kunnen we $ \ mathbb {Q} ^ n = E_1 \ oplus E _ {- 1} $ schrijven, waarbij $ g $ fungeert als identiteit op $ E_1 $ en als $ -1 $ op $ E _ {- 1} $. Door deze decompositie te beperken tot $ \ mathbb {Z} ^ n $, verkrijgen we een eindige-index subgroep $ A $ van $ \ mathbb {Z} ^ n $ en een decompositie $ A = F_1 \ oplus F _ {- 1} $ zoals die $ f $ fungeert als identiteit op $ F_1 $ en als $ -1 $ op $ F _ {- 1} $.

We kunnen echter zeker niet aannemen dat $ A = \ mathbb {Z} ^ n $. Bijvoorbeeld, de matrix waarvan de eerste rij $ (0 1) $ is en waarvan de tweede rij $ (1 0) $ is (trouwens, ik kan niet achterhalen hoe mijn matrices correct worden weergegeven) is een involutie in $ \ text {GL} _n (\ mathbb {Z}) $ dat kan worden ge-diagonaliseerd over $ \ mathbb {Q} $ maar niet over $ \ mathbb {Z} $.

Wat kan hier nog meer worden gezegd?

9
Aangezien $ (f-1) + (f + 1) = 2 $, $ 2 \ mathbb {Z} ^ n \ subset A \ subset \ mathbb {Z} ^ n $
toegevoegd de auteur alexk, de bron

2 antwoord

Het probleem is gelijk aan het classificeren van isomorfismeklassen van $ n $ -dimensionale integraalrepresentaties van de cyclische groep $ C_2 $ van orde 2, of $ \ mathbb {Z} [C_2] $ - modules op $ \ mathbb {Z} ^ n $ . Deze groep heeft exact 3 isomorfismeklassen van niet-vervangbare vrije $ \ mathbb {Z} $ - modules:

(1) triviaal

(2) tekenweergave

(3) 2-dimensional with matrix $\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}.$

Every $n$-dimensional $\mathbb{Z}[C_2]$-module is a direct sum of (1), (2), (3) with uniquely determined multiplicities. Thus any involution is conjugate over $\mathbb{Z}$ to a block diagonal matrix with blocks [1], [-1], $\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$ whose sizes are uniquely determined.

11
toegevoegd
Curtis en Reiner, hoofdstuk 11. Het is een speciaal geval van een stelling in Par 74, die integrale representaties van cyclische groepen van primaire orde classificeert. Natuurlijk is deze zaak veel gemakkelijker en kan met de hand worden gedaan.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Bedankt Victor! Ik ken veel referenties voor representaties over velden, maar geen voor integrale representaties. Weet jij een goede referentie voor dit soort dingen?
toegevoegd de auteur Michael Levy, de bron

U kunt GAP gebruiken om een ​​Q-klasse van een eindige subgroep van GL (n, Z) te ontbinden in de component Z-klassen. Dit maakt gebruik van het CARAT-programma uit Aken. Om de eerste paar gevallen te zien, kunt u het volgende gebruiken:

zclasses := [];;
for dim in [2,3,4,5,6] do
  zclasses[dim] := [];
  for sig in [1..dim] do
    qclass := Group( DiagonalMat( Concatenation(
      ListWithIdenticalEntries( sig, -1 ),
      ListWithIdenticalEntries( dim - sig, 1 ) ) ) );
    zclasses[dim][sig] := ZClassRepsQClass( qclass );
  od;
od;

Vervolgens om samen te vatten hoeveel Z-klassen er van elke dimensie en handtekening zijn:

gap> List(zclasses,dim->List(dim,Size));
[[2,1],[2,2,1],[2,3,2,1],[2,3,3,2,1],[2,3,4,3,2,1]]

De werkelijke groepen zijn beschikbaar als zclasses [dim] [sig] [idx] , bijvoorbeeld de generator van de 3e Z-klasse van dimensie 4 en handtekening -1, -1,1,1 is:

gap> Display( GeneratorsOfGroup( zclasses[4][2][3] )[1] );
[ [   0,   0,  -1,   0 ],
  [   0,   0,   0,  -1 ],
  [  -1,   0,   0,   0 ],
  [   0,  -1,   0,   0 ] ]

Hopelijk zullen deze een duidelijk genoeg patroon voor je laten zien. De opdracht ZClassRepsQClass kan ook worden toegepast op andere eindige subgroepen, voor het geval u elementen van bestelling 3 of 4 of wat dan ook wilt begrijpen. Vermoedelijk is de theorie achter deze dingen ontwikkeld in enkele van de kristallografische stijlreferenties door de auteurs (ik geloof dat W. Plesken verschillende monografieën heeft geschreven die de dingen in deze zin behandelen).

2
toegevoegd
Yup, Z-klasse betekent maximaal GL (n, Z) -conjugaat. Ik vermoed dat karaat zou kunnen draaien op vensters, maar het is tijdens de bouw ervan zeer kieskeurig, dus het is waarschijnlijk gemakkelijker om een ​​werkende unix-installatie te vinden (en gebruik de scripts van Frank Luebeck om karaat te compileren als dit nog niet is gebeurd).
toegevoegd de auteur David Korn, de bron
Dit is aan de conjugatie in $ GL (n, \ mathbb {Z}) $, toch? Ik voer GAP op Windows en denk dus niet dat ik ZClassRepsQClass kan gebruiken.
toegevoegd de auteur Steve D, de bron