De eenvoudig verbonden subgroepen van GLn (C)?

Een vriend van mij en ik probeerden een vraag te beantwoorden die betrekking had op zijn onderzoek en hij kon zich niet herinneren of de speciale lineaire groep over de complexe getallen, SLn (C), gewoon verbonden was. (Het IS, natuurlijk.)

Dit zette me aan het denken: Wat zijn alle eenvoudig verbonden topologische subgroepen van de algemene lineaire groep boven C? Is er een eenvoudige karakterisering van allemaal tot isomorfie? Hoe zit het met hun fundamentele groepen als topologische ruimtes? ZIJN ze gewoon verbonden als de subgroep dat is? Ik zou verwachten dat ze fundamentele groepen hebben, omdat basispunten eenvoudig te kiezen moeten zijn via de identiteitsmatrix.

Dus is er een dergelijke karakterisering voor de eenvoudig verbonden subgroepen van GLn (C)?

1
De manier om dit probleem op te lossen is om alle eenvoudig verbonden Lie-groepen te nemen en vervolgens hun getrouwe complexe representaties te classificeren.
toegevoegd de auteur John Topley, de bron
@Qiaochu Ik dacht niet dat mijn vraag deze voorwaarde vereiste in zijn verklaarde algemeenheid. Maar goed, Lie group-theorie is iets waar ik nog steeds niet vloeiend in ben. Vandaar de vraag.
toegevoegd de auteur Jeremy McGee, de bron
@Qiaochu: $ \ textit {Any} $ subgroup of $ GL_n (\ mathbb {C}) $ is een Lie-groep (in het bijzonder hoeft deze niet te worden gesloten of verbonden). De topologie wordt echter alleen geërfd van de matrixruimte als deze is gesloten (over het algemeen gebruikt men de exponentiële kaart op de verbonden component van de identiteit en maakt alle verbonden componenten open).
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Dat is een kwestie van definities. De Lie-groepen
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
@Yuan: Stelling van Cartan: elke gesloten subgroep van een Lie-groep is een Lie-subgroep.
toegevoegd de auteur Matthew Hoggan, de bron
Greg, is een eenvoudig verbonden subgroep van GL_n (C) noodzakelijkerwijs een Lie-groep?
toegevoegd de auteur Assaf Lavie, de bron
Ja, maar Andrew heeft nooit aangegeven dat de subgroep gesloten is. Ik neem aan dat je dit toch moet bedingen.
toegevoegd de auteur Assaf Lavie, de bron
"Hoe zit het met hun fundamentele groepen als topologische ruimtes?" Als de subgroep eenvoudig is verbonden, is de fundamentele groep triviaal, niet?
toegevoegd de auteur Steve D, de bron
@VictorProtsak Waarom is elke subgroep van $ GL (n, \ mathbb {C}) $ een leugroep? Bevat deze niet in het geval $ n = 1 $ een gesloten subgroep isomorf tot $ \ mathbb {R} $, die subgroepen bevat die geen Lie-groepen zijn (bijvoorbeeld een subgroep die abstract is gegenereerd door een Hamel-basis minus één element)? Ik zou in de war kunnen zijn.
toegevoegd de auteur rcorre, de bron

1 antwoord

Er kan geen classificatie zijn behalve voor kleine n, omdat dit zou betekenen dat nilpotente Lie-algebra's worden geclassificeerd tot isomorfie, een bekend wild probleem.

Volgens Lie-Engel's stelling is elke nulbolle Lie-algebra van $ n $ bij $ n $ -matrices een directe som van een centraal ideaal en een Lie-algebra van strikt bovenste driehoekige matrices. Elke Lie-subalgebra $ \ mathfrak {g} \ subseteq \ mathfrak {gl} _n $ bestaande uit nulpotente matrices is exponentieel : de exponentiële kaart $ \ exp $ is een diffeomorfisme. In het bijzonder is $ G = \ exp (\ mathfrak {g}) $ een eenvoudig verbonden Lie-subgroep van $ GL_n (\ mathbb {C}) $ en $ G $ en $ \ mathfrak {g} $ bepalen elkaar naar isomorfie.

Volgens de stelling van Ado is elke $ k $ -dimensionale Lie-algebra lineair en in feite een subalgebra van $ \ mathfrak {gl} _n $ voor sommige $ n $, afhankelijk van $ k $ ($ n = k ^ 2 + 1? $). Dus classificeren van eenvoudig verbonden subgroepen van $ GL_n $ omvat als een subprobleem het classificeren van alle $ k $ -dimensionale niet-potentiele Lie-algebra's tot isomorfie. Voor $ k \ geq 7 $ zijn er continue parameters in deze moduli-ruimte en voor algemene $ k $ wordt de classificatie als onmogelijk beschouwd (ik ben de precieze grenzen vergeten).

In de praktijk is er natuurlijk Greg's manier.

14
toegevoegd