Over het bewijs van Wajnryb's eindige presentatie van Mod (S)

Ik studeer Farb en Margalit's A-primer over het in kaart brengen van klassengroepen en probeer de eindige presentatie van Mod (S) door Wajnryb te begrijpen. Ik begrijp dat er een eindige presentatie bestaat, maar ik kan niet begrijpen hoe zij de eindige presentatie van Wajnryb expliciet hebben gemaakt. Meer precies, ik wil weten hoe ze wisten dat die 5 soorten relaties alle relaties genereren.

4

3 antwoord

Het is nog steeds een open probleem om een ​​korte en eenvoudige manier te vinden om een ​​eindige presentatie af te leiden voor de classificatiegroep. Het boek van Farb en Margalit (in de recente voorlopige versie 4.00) geeft een duidelijke schets van de bekende afleidingen, die vrij lang en gecompliceerd zijn. Voor de details moet men de originele papieren raadplegen die in het boek worden geciteerd. Er zijn twee hoofdstappen. De eerste is om een ​​bepaald 2-dimensioneel celcomplex te bouwen waar de groepsklassen op inwerken en te bewijzen dat dit complex eenvoudig is verbonden. Dit gebeurde oorspronkelijk in een document uit 1980 van Thurston en mijzelf. De basiseigenschappen van dit complex maken duidelijk dat het schrijven van een echte presentatie gewoon een kwestie is van het uitvoeren van lange en moeilijke berekeningen, met misschien wat vindingrijkheid om het werk te verminderen. De tweede stap is dan om het werk te doen en een presentatie op te schrijven. Harer voerde dit werk kort daarna uit en Wajnryb vereenvoudigde de presentatie van Harer in een document uit 1983. In een later document van 1999 gaf Wajnryb een meer elementaire, op zichzelf staande uiteenzetting van het hele verhaal, maar dit is een document van zestien pagina's. De exacte referenties staan ​​in het boek Farb-Margalit. Ik hoop echt dat er op een dag een efficiëntere aanpak wordt gevonden.

12
toegevoegd

Zoals de auteurs in de versie van 2010-04-22 van hun tekst uitlegden, werd eerst een expliciete presentatie door Harer verkregen, volgens de methode die werd ontwikkeld door Hatcher en Thurston. De laatste definieerde een 2-dimensionaal eenvoudig verbonden veelvlakkig complex waarop Mod (S) werkt:

  1. cocompactly (i.e. eindig veel banen van 0,1 en 2 gezichten)
  2. met expliciet eindig gepresenteerde vertex-stabilisatoren (in de buurt van vlechtgroepen)
  3. met expliciet eindig gegenereerde randstabilisatoren

Een algemeen recept zegt dan hoe je een eindige presentatie van de hele groep Mod (S) kunt krijgen, waar Harer als eerste doorheen ging in alle gevallen, om een ​​"enigszins logge presentatie" te krijgen.

Toen slaagde Wajnryb erin de presentatie van Harer te vereenvoudigen. Persoonlijk geef ik de voorkeur aan Makoto Matsumoto's mooie presentatie (verkregen door de versie van Wajnryb te vereenvoudigen, met behulp van een computer), waarbij relaties die aan de vlechtingen worden toegevoegd, natuurlijk worden geïndexeerd door sommige Dynkin-diagrammen (opnieuw ADE!)

Trouwens, hier is de link naar het boek van Farb en Margalit.

7
toegevoegd

Ik heb onlangs dit artikel gelezen, misschien wel de kortste onafhankelijke afgeleide van de Gervais-presentatie die er is:

http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153492933

4
toegevoegd
@Dan: de link lijkt te zijn verbroken. Welk papier is dit?
toegevoegd de auteur Joseph Sturtevant, de bron
@Theo: Ik heb de link gerepareerd.
toegevoegd de auteur Joseph Sturtevant, de bron
Ik vermoed dat het Benvenuti's krant is? emis.de/journals/AG/1-3/3_291.pdf Zo ja, ik vind het nog steeds behoorlijk pijnlijk.
toegevoegd de auteur rilwis, de bron