Minder bekende vermoedens van significante invloed en het tegendeel

In de wiskunde is het gebruikelijk dat stellingen/resultaten en problemen die saai lijken in één generatie worden gerevitaliseerd en het centrum van onderzoek in een andere worden.

Soms worden vermoedens die onaantastbaar worden geacht binnen een paar jaar opgelost.

Ik zou graag willen weten of er vermoedens waren die niet op een groot aantal wiskundigen inwerkten, maar toen ze (mogelijk gedeeltelijk) werden opgelost, kwamen de gebruikte technieken of het resultaat zelf op veel gebieden. Aan de andere kant, zijn er ook vermoedens waarvan verwacht werd dat ze een dramatische impact zouden hebben, maar op aflossing niet aan die verwachting voldeden?

4
Op zijn minst zou deze vraag behoren om een ​​community-wiki te zijn. Ik denk dat de premie volkomen ongepast is. Ik zou overwegen om dit als ongepast te beschouwen voor deze site (enigszins als een open discussie vraag) behalve dat ik dit vanwege de premie niet kan doen . Ik heb een thread op meta gestart: tea.mathoverflow.net/discussion/427/…
toegevoegd de auteur Bob, de bron
Natuurlijk besef je dat dit oorlog betekent.
toegevoegd de auteur JonesTheAstronomer, de bron
De meer ervaren gebruikers van MO kunnen voorzien dat uw vraag een grote lijst met goede antwoorden zou genereren, wat moeilijk te kiezen zou zijn. Dat is waarom ze suggereerden dat het community wiki werd en de premie werd verwijderd. Hopelijk wordt u met deze ervaring in de toekomst meer ontvankelijk voor suggesties van meer ervaren gebruikers.
toegevoegd de auteur Joel Brown, de bron
Ik vind het niet ongepast. Blijkbaar heb ik berichten/opmerkingen gezien van gereputeerde wiskundigen over vragen als deze. Ik hoop dat er veel te leren valt van de antwoorden. Misschien kan iemand van mening veranderen of iemands gedachten over wiskundige problemen in relatie tot hun beweerde consequentie van dergelijke historische ervaringen van anderen heroverwegen.
toegevoegd de auteur Eve Freeman, de bron
Rechts! Community wiki.
toegevoegd de auteur Eve Freeman, de bron

4 antwoord

Een voorbeeld van een belangrijke oplossing voor een weinig bekend probleem kan zijn Frank P. Ramsey's "Over een probleem van formele logica" in Proc. Londen Math. Soc. 30 (1930) 264-286. Het probleem was logisch en zelfs niet bekend voor logici, maar de oplossing van Ramsey werd overgenomen door combinatorialisten (met name Erdős en Szekeres) en het groeide uit tot het belangrijke veld dat nu bekend staat als Ramsey-theorie.

{Later toegevoegd] Een voorbeeld van het tegenovergestelde type is Hilbert's vijfde probleem . Dit was een bekend en moeilijk probleem waaraan door eminent werd gewerkt wiskundigen zoals von Neumann en Pontryagin, en het duurde meer dan 50 jaar om op te lossen. Maar tegen de tijd dat het was opgelost leek niet langer in de mainstream van Lie-theorie en boeken te liggen op leugentheorie vandaag weinig vermelden.

PS. Ik ben het ermee eens dat deze vraag community-wiki moet zijn.

13
toegevoegd
Hallo John, Decidabiliteitsproblemen stonden een groot deel van de vorige eeuw centraal in de logica. Waarom zegt u dat het beslissingsresultaat van Ramsey betrekking had op een probleem dat niet bekend was? (Ik twijfel niet aan uw bewering, ik ben oprecht nieuwsgierig, om bijvoorbeeld niet te beweren dat er iets vals is wanneer ik Ramsey's stelling onderwijs.)
toegevoegd de auteur Kieran Hall, de bron
Andres, ik heb het misschien mis, maar ik denk dat er in die tijd heel weinig reageerde op Ramsey's stellingen van logici. (Misschien waren ze te druk met het absorberen van de stellingen van Gödel.) De eerste mensen die interesse hadden, waren Erdős en Szekeres in hun paper uit 1935 in Compositio Math. , "Een combinatorische stelling in de meetkunde". Erdős en Szekeres gaven onder meer een veel eenvoudiger bewijs van de eindige Ramsey-stelling, en zij ontdekten het verband tussen oneindige en eindige Ramsey-stellingen via het Kőnig-oneindigheidslemma.
toegevoegd de auteur Memor-X, de bron
Bedankt, Tim. Ik had duidelijk moeten maken dat Ramsey's "oplossing" slechts gedeeltelijk was (en het kon niet compleet zijn omdat, zoals je zegt, het probleem onoplosbaar is). Misschien waren logici niet onder de indruk omdat ze nog steeds hoopten op een complete oplossing.
toegevoegd de auteur Memor-X, de bron
Bedankt, Terry. Het is goed om te weten dat Hilbert's vijfde probleem weer tot leven is gewekt.
toegevoegd de auteur Memor-X, de bron
Ik wil erop wijzen dat het werk aan Hilbert's vijfde probleem een ​​belangrijk onderdeel was van Gromov's bewijs van zijn beroemde stelling over groepen polynomiale groei, en meer recent werd gebruikt door Hrushovski om een ​​aantal diepe resultaten te verkrijgen op eindige sets van begrensde verdubbeling. Mijn ervaring is dat elk echt diep stuk wiskunde de neiging heeft om uiteindelijk het gebruik ervan te vinden ...
toegevoegd de auteur KeithS, de bron
Punt van verduidelijking: het 'probleem van formele logica' waarnaar in de titel van Ramsey's paper wordt verwezen, was het beslissingsprobleem voor de eerste-orde logica. Dit probleem was zeker beroemd (en werd uiteindelijk negatief beantwoord door de kerk). De meest duurzame bijdrage van Ramsey's paper was echter niet zijn gedeeltelijke resultaat op het beslissingsprobleem, maar een resultaat dat hij bewees tijdens de weg die we nu kennen als 'de stelling van Ramsey'. Waarschijnlijk vanwege deze omstandigheden, werd de stelling van Ramsey grotendeels over het hoofd gezien door combinatorialisten voor vele jaren, hoewel Ramsey het als "onafhankelijk belang" bestempelde.
toegevoegd de auteur Joel Brown, de bron

Een open probleem waarvan de oplossing niet opleverde waar veel mensen op hoopten, was het elementaire bewijs van de priemgetalstelling. Hoewel dit een fantastische prestatie was van Erdos en Selberg, heeft dit niet geleid tot verdere dramatische doorbraken in de getaltheorie, althans niet in de mate waarin veel mensen hoopten.

13
toegevoegd

Kummer, in the 1850s, proved the p-th power reciprocity laws for regular primes. He conjectured that his formulation was valid for arbitrary primes, but the only one who mentioned this conjecture and hinted at a way of solving it was his student and friend Kronecker. Only when Hilbert, at the end of the 1890s, proved a quadratic reciprocity law in number fields with even class number did it become clear what to do, and within the next 15 years Furtwängler followed Hilbert's path and proved the full p-th power reciprocity law. These results didn't appeal to many mathematicians, and only when Artin found a way of formulating the reciprocity law in a conceptual way did it become a widely known and widely used result.

Zeker een reden waarom het vermoeden van Kummer grotendeels verwaarloosd werd, was dat de technieken voor het oplossen van het probleem ontbraken. Bovendien vonden veel mensen het waarschijnlijk niet interessant omdat het probleem niet in een conceptueel kader kon worden gestopt, omdat Frobenius zijn resultaten over het Frobenius-automorfisme publiceerde in ongeveer dezelfde tijd dat Hilbert aan deze problemen werkte.

9
toegevoegd

Men kan het 7de probleem van Hilbert contrasteren ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_seventh_problem ) over transcendentie met zijn opvattingen over de laatste stelling van Fermat. Deze worden ergens gemeld, namelijk dat het zevende probleem moeilijker op te lossen zou zijn, omdat FLT waarschijnlijk snel zou worden opgelost. Nu was het 7e probleem opgelost (of op zijn minst het bekendere deel?), En het zou oneerlijk zijn om de Gelfond-Schneider-stelling ondiep te noemen, maar het was slechts één vooruitgang in de transcendentietheorie die daarna nieuwe ideeën vereiste. Aan de andere kant weten we nu achteraf dat de "modularity theorem" -benadering van FLT erg diep gaat; dit was niet iets dat pas ongeveer 25 jaar geleden duidelijk werd. Er was misschien een "goedkoop" bewijs van FLT dat aantoonde dat de bestaande criteria op p alle gevallen hadden uitgesloten: maar er gebeurde iets heel anders.

3
toegevoegd
Ik geloof dat we de waarde van het zevende probleem pas goed kunnen beoordelen als het vermoeden van de Schanuel is opgelost.
toegevoegd de auteur Shay Levy, de bron
Hoe komt het dat slechts één vooruitgang in de transcendentietheorie na Gelfond-Schneider resulteerde in twee Fields-medailles (Roth en Baker)? Of bedoelde u "één voorschot van Hilbert naar G-S"?
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Het resultaat van Roth breidde het werk van Thue en Siegel uit in diophantische benadering. Het was het werk van Baker dat Gelfond uitgebreid heeft (van twee logaritmen van algebraïsche getallen die niet evenredig zijn met lagere limieten voor elke lineaire vorm in logaritmen). Ik denk dat het punt hier is dat hulpfuncties in verschillende complexe variabelen nodig waren en nieuwe ideeën.
toegevoegd de auteur Denis Nikolaenko, de bron