BGG-categorie overal betekent de algemene formule van Kazhdan-Lusztig?

Misschien is deze vraag vaag. Ik ben geen expert in wat ik vroeg, als ik een fout heb gemaakt, wijs dan op.

De BGG-categorie werd gevonden in de algebra-setting. Eén heeft Verma-module $ M (\ lambda) $, onherleidbaar quotiënt $ L (\ lambda) $. Dan heeft men de BGG-resolutie, Weyl-karakterformule, Kazhdan-Lusztig-formule.

Er zijn verschillende generalisaties:

  1. Men kan inductie overwegen van parabolische subalgebra in plaats van Borel-subalgebra om gegeneraliseerde Verma-module te construeren. Dan kunnen we nog steeds analoog zijn aan BGG categorie O, BGG resolutie, Kazhdan-Lusztig formule, enzovoort.

  2. Men kan BGG-categorie O voor de kwantumgroep construeren.

  3. Men kan BGG-categorie O beschouwen voor een oneindig dimensionale vlagvariëteit, zoals een semi-oneindig vlagverdeelstuk (zie het werk van Frenkel en Feign en de geometrische langlandsschool)

De BGG-categorie hierboven is op een of andere manier gerelateerd aan Lie-algebra. Maar er zijn nog steeds een aantal analogen van de BGG-categorie die niet gerelateerd lijken te zijn aan Lie-algebra.

  1. Er is een zogenaamde hyperbolische algebra of gegeneraliseerde Weyl-algebra (bijvoorbeeld Weyl-algebra, Heisenberg-algebra, algebra van quantum-differentiaaloperatoren). Men kan BGG-categorie O voor deze instelling definiëren. We hebben nog steeds een Verma-module, een onherleidbaar quotiënt enzovoort. Maar ik weet niet zeker of er een analoge K-L-formule is.

  2. Men kan de BGG-categorie voor quiver-variëteit definiëren. Er is een analogie met de Kazhdan-Lusztig-formule. Zie de opmerkingen van Nakajima .

Mijn vraag is: De BGG-categorie verschijnt overal en het lijkt erop dat de formule van Kazhdan-Lusztig niet alleen in de setting van de Lie-algebra leeft, maar ook op veel andere plaatsen. Dit doet mij vermoeden dat er een zeer algemene formule (algemeen formalisme) moet zijn waarvan het speciale geval de K-L-formule is . Ik vraag me af of iemand dit fenomeen heeft onderzocht?

Ik weet dat er wat werk is dat probeert om bepaalde categorisering van de Verma-module en bijbehorend irreducibel quotiënt voor quiver-variëteit te doen. Er is een paper van Zheng Hao over categorisering van integrale representatie van kwantumgroep. Hij overwoog $ K_0 $ van afgeleide categorie van bouwbare schijven op quiver-variëteit en $ K_0 $ van zijn lokalisatie met betrekking tot een dikke subcategorie. Wat hij kreeg is het quotiënt van de K-groep dat gewoon onherleidbare integrale representaties is. Ik denk dat dit een aanwijzing kan zijn voor het zoeken naar algemeen formalisme achter de Kazhdan-Lusztig-formule.

Er is een ander werk van Peter Trapa, hij beschouwde de basisveranderingsmatrix tussen twee bases van $ K_0 $ van BGG categorie O (een daarvan is een Verma-module, een andere is geassocieerd met een onherleidbaar quotiënt). Hij ontdekte vervolgens dezelfde basisveranderingsmatrix tussen categorie van perverse schoven en bouwbare schoven. Vervolgens probeerde hij de K-L-formule te gebruiken om enige geometrische interpretatie te geven.

5
Zoals Ben suggereert, is de vraag overdreven breed. Een deel van de meest klassieke theorie is ontwikkeld in mijn AMS-boek van 2008, maar zoals je zegt, er zijn nu veel "categorie $ \ mathcal {O} $ " analogen. Er zijn pogingen gedaan om "hoogste gewichtscategorieën" in sommige algemeenheden (Cline-Parshall-Scott) te bestuderen, terwijl Apoorva Khare een aantal relevante arXiv-preprints heeft, waaronder front.math.ucdavis.edu/0811.2080 . Maar het is moeilijk, zo niet onmogelijk, om alle 'Kazhdan-Lusztig gissingen' in één pakket te passen. Verschillende instellingen stellen verschillende technische uitdagingen.
toegevoegd de auteur Mike Schall, de bron
Het Mirollo-Vilonen-blad in Ann. Sci. ENS 20 (1987) is gratis beschikbaar op www.numdam.org. Aan de andere kant, om een ​​"Kazhdan-Lusztig" type van vermoeden te formuleren wanneer een bepaalde categorie onbekende "eenvoudige" en bekende "standaard" objecten heeft (gerelateerd aan een decompositiematrix), is er geen bekende verenigende idee die alle natuurlijke voorbeelden zoals als de Brauer-Nesbitt vergelijking van gewone en p-modular karakters van een eindige groep. - Jim 0 seconden geleden
toegevoegd de auteur Mike Schall, de bron
Nog enkele andere belangrijke bijvoeglijke naamwoorden: de categorie van de meest veeleisende categorieën, de Koszul-categorie. Jim's boek en Ben's papieren met Braden Licata en Proudfoot zijn goede plekken om te kijken. Ik zou ook het (unieke) papier van Mirollo en Vilonen aanbevelen waarin een geometrische oorsprong voor BGG-reciprociteit wordt uitgelegd in categorieën van perverse schijven.
toegevoegd de auteur Kevin Ballard, de bron
Naar welke formule verwijst het? Kazhdan en Lusztig hebben veel formules geproduceerd.
toegevoegd de auteur Artem Kaznatcheev, de bron
Misschien wil je ook duidelijker zijn over wat je bedoelt met 'BGG-categorie'. Er zijn precieze begrippen zoals 'hoogste gewichtscategorie', maar ik heb geen idee of dit echt is wat u bedoelt.
toegevoegd de auteur Artem Kaznatcheev, de bron

Geen antwoorden

0