Nilradicalen zonder het lemma van Zorn

Het is algemeen bekend dat de nulradicaliteit van een commutatieve ring met identiteit $ A $ de kruising is van alle primaire idealen van $ A $.

Elk bewijs dat ik vond (bijvoorbeeld in de klassieke "Commutative Algebra" van Atiyah en Macdonald) gebruikt het lemma van Zorn om te bewijzen dat $ x \ notin Nil (A) \ Rightarrow x \ notin \ cap _ {\ mathfrak {p} \ in Spec (A )} \ mathfrak {p} $ (de andere manier is onmiddellijk). Weet iemand een bewijs dat het niet impliceert?

21
Ik weet niet of dit je doel is, maar als je constructieve algebra probeert te doen, dan is het niet de kunst om op een constructieve manier de bewering te bewijzen dat het nilradical de kruising is van alle priemgetallen (dit is onmogelijk), maar om (automatisch) ?) herschrijf elk bewijs met deze bewering in een bewijs dat het niet gebruikt. Henri Lombardi en Thierry Coquand hebben voorbeelden van dergelijke herschrijvingen geschreven.
toegevoegd de auteur James Fee, de bron

4 antwoord

Aangezien je om een ​​bewijs hebt gevraagd, wil ik het antwoord van Chris Phan aanvullen door een bewijs te schetsen dat alleen berust op de Compactness-stelling voor propositionele logica, wat nog een equivalent is van de Ultrafilter stelling over ZF.

Let A be a commutative ring and let x ∉ Nil(A). To each element a ∈ A associate a propositional variable pa and let T be the theory whose axioms are

  • p0, ¬p1, ¬px, ¬px2, ¬px3,...
  • pa ∧ pb → pa+b for all a, b ∈ A.
  • pa → pab for all a, b ∈ A.
  • pab → pa ∨ pb for all a, b ∈ A.

Models of T correspond precisely to prime ideals that do not contain x. Indeed, if P is such an ideal, then setting pa to be true iff a ∈ P satisfies all of the above axioms, and conversely. So it suffices to show that T has a model.

Since xn ≠ 0 for all n, one can verify using ideals over finitely generated subrings of A that the theory T is finitely consistent, i.e. any finite subset of T has a model. (What I just swept under the rug here is a constructive proof of the theorem for quotients of Z[v1,...,vn].) The Compactness Theorem for propositional logic then ensures that T has a model.

14
toegevoegd
Heel aardig. Ik denk dat het bewijs voor eindig gegenereerde ringen (die niet het axioma van keuze gebruikt) gewoon gebruikt dat ze geen-etherisch zijn.
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
Omdat de compactheidsstelling voor propositielogica voor telbaar veel variabelen zelfs waar is in ZF ( mathoverflow.net/questions/81348 ) laat dit zien dat elke telbare ring voldoet aan "nulradical = kruising van prime idealen" in ZF, toch?
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
Wauw, echt nuttig, bedankt! Ik zou graag ervaring willen opdoen met modeltheorie, het lijkt me echt interessant ...
toegevoegd de auteur Adrian, de bron
Ja, alles wat je in dat geval nodig hebt is Konigs Lemma (elke oneindige, eindig vertakkende boom heeft een oneindig pad) wat waar is in ZF en veel zwakkere systemen.
toegevoegd de auteur François G. Dorais, de bron
Juist, ik had de zwakke Königs Lemma moeten zeggen, beperkt tot substructuren van $ 2 ^ {<\ omega} $.
toegevoegd de auteur François G. Dorais, de bron
François, bedoelde je misschien het lemma van Lindembaum voor een telbare taal? De vorm van König's lemma die je noemt, is in die algemeenheid onafhankelijk van ZF (het komt overeen met het axioma van telbare chice voor eindige sets).
toegevoegd de auteur kmdhrm, de bron

Y. Rav bewees dit met behulp van het Ultrafilter-principe ("Elk filter op een set kan worden uitgebreid tot een ultrafilter"), dat zwakker is dan het Axiom of Choice. Stelling 4.1 van Varianten van Rado's selectie-lemma en hun toepassingen, Math. NAChR. 79 (1977), 145--165 verklaart:

Theorem 4.1. Let R be a ring, $\mathfrak{a}$ a proper ideal in R, and suppose that S is multiplicative subsemigroup of R which does not meet $\mathfrak{a}$. Then it follows from the Ultrafilter Principle that their exists a prime ideal $\mathfrak{p}$ in R such $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{p}$ and $\mathfrak{p} \cap S= \emptyset$.

Rav toonde ook:

Corollary 4.4. The following statements are mutually equivalent in ZF set theory:
(a) Every filter on a set can be extended to an ultrafilter.
(b) In every commutative associative ring with identity, every proper ideal is included in some prime ideal.
(c) In every Boolean algebra, every proper ideal (resp. filter) is included in some prime ideal (resp. ultrafilter).
8
toegevoegd

Ik veronderstel dat het argument dat je in gedachten hebt het volgende is: veronderstel $ f \ in \ cap \ mathfrak {p} $; om vervolgens aan te geven dat $ f $ nihil is, is het voldoende om aan te tonen dat de gelokaliseerde ring $ A_f $ nul is. En inderdaad, als $ f $ in elk prime-ideaal van $ A $ zit, heeft $ A_f $ helemaal geen prime ideals; omdat elke niet-nul-ring een maximaal ideaal heeft van Zorn's Lemma, moeten we $ A_f = 0 $ hebben.

Deze redenering past zich gemakkelijk aan om aan te tonen dat in feite de verklaring dat $ \ operatorname {Nil} (A) = \ cap \ mathfrak {p} $ impliceert dat elke niet-nul-ring een prime-ideaal heeft. Stel dat $ A $ niet nul was, zonder prille idealen; dan $ \ cap \ mathfrak {p} = A $, dus elk element van $ A $ is nilpotent. In het bijzonder, $ 1 = 1 ^ n = 0 $, dus $ A = 0 $.

Volgens het antwoord van Eric Rowell komt dit bijna overeen met het axioma van keuze (het betekent echter niet dat er maximale idealen bestaan).

5
toegevoegd
Hoewel ik er zeker van ben dat ze in essentie hetzelfde argument zijn, wordt het argument in Atiyah-Macdonald gegeven voordat de lokalisatie wordt geïntroduceerd (en minder gemakkelijk is dan het bovenstaande argument).
toegevoegd de auteur Caleb, de bron

Dit lijkt moeilijk, omdat de stelling van Krull (bestaan ​​van maximale idealen) het Axioma van Keuze impliceert. Dit is te wijten aan W. Hodges denk ik.

2
toegevoegd