# Waarom is Fourier-analyse zo handig om de isoperimetrische ongelijkheid te bewijzen?

Ik heb zojuist een inleidende cursus over analyse gevolgd en heb mijn aantekeningen gedurende het jaar bekeken. Hoewel het zeker niet de meest krachtige of belangrijke stelling was die we behandelden, was de meest opvallende toepassing voor mij de Fourier analytische bewijs van de isoperimetrische ongelijkheid . Ik begrijp het bewijs, maar ik heb nog steeds geen idee waarom iemand zou denken Fourier-analyse te gebruiken om dit probleem aan te pakken. Ik ben op zoek naar een duidelijke reden waarom iemand hiernaar zou kijken en denk dat "een Fourier-transformatie de dingen hier zou vereenvoudigen". Nog beter zou een fysieke interpretatie zijn. Zou dit op de een of andere manier te maken kunnen hebben met "de vorm van een trommel horen"? Is hier een groter verhaal?

30
De voorgestelde verbinding met het horen van de vorm van de trommel is erg mooi. Het is bekend dat u het volume van een drum kunt horen (maar in het algemeen niet de vorm).
toegevoegd
Michael, wat ik bedoelde, is dat er voorbeelden zijn waar je niet kunt horen hoe hij vorm geeft.
toegevoegd
Overigens zijn er verschillende bewijzen van isoperimetrische ongelijkheid met Fourier-series (alleen Hurwitz gaf er twee).
toegevoegd
@GilKalai: waar zeg je "in het algemeen, niet de vorm", bedoel je dan alleen dat SOMMIGE membranen met verschillende vormen hetzelfde spectrum hebben? Ik zou verwachten dat in sommige gevallen, je de vorm kunt horen, dat wil zeggen, misschien heeft geen niet-cirkelvormig membraan hetzelfde spectrum als een cirkelvormig membraan, of als het niet werkt voor cirkels, dan voor sommige vormen zou het zijn.
toegevoegd

## 5 antwoord

Ervaring met Fourier analyse en representatie theorie heeft aangetoond dat elke keer dat een probleem invariant is met betrekking tot een groepssymmetrie, de representatietheorie van die groep waarschijnlijk relevant zal zijn. Als de groep Abelian is, wordt de representatietheorie gegeven door de Fourier-transformatie in die groep.

In dit geval is de relevante symmetriegroep die van het opnieuw parametriseren van de hoekinstelling van de perimeter door translatie. Deze bewerking wijzigt het gebied of de omtrek niet. In combinatie met de waarneming (van de stokes-stelling van Stokes) dat zowel het gebied als de omtrek van een lichaam gemakkelijk kunnen worden teruggewonnen uit de arklength-parametrisering, suggereert dit natuurlijk om Fourier-analyse in de arclength-variabele te gebruiken.

56
toegevoegd
Ja; omdat de curve eenvoudig is, kun je op deze manier aan deze symmetrie denken. (Als de curve echter zelf zou kunnen kruisen, zou men moeten werken in de parameterruimte in plaats van in de omgevingsruimte, zoals hierboven besproken.)
toegevoegd
Dus je meet hoe ver je bent verplaatst langs de curve van een vast punt op de curve. Met "vertaling" bedoelt u gewoon een ander vast punt op de curve kiezen?
toegevoegd

Het lijkt mij dat het de moeite waard is te vermelden dat alleen de 2-d isoperimetrische ongelijkheid eenvoudig kan worden bewezen met behulp van Fourier-analyse, maar niet met hogere dimensionale geometrische ongelijkheden. Naast de door Terry Tao geciteerde groepsinvariantie-eigenschap bestaat het simpele feit dat een gesloten curve kan worden gerepresenteerd door een paar periodieke functies en, als de curve op de juiste manier is geparametreerd, de lengte en het oppervlak mooi worden weergegeven door integralen van kwadratische polynomen van de periodieke functies en hun afgeleiden. Al met al een mooie setup voor Fourier-series. Als de integranden polynomen van een hogere graad waren, zou een bewijs nog steeds mogelijk zijn, maar ik weet niet zeker of het zo gemakkelijk zou zijn. En is er een analoog bewijs in hogere dimensies?

20
toegevoegd
Ik zal ook erg geïnteresseerd zijn om een ​​Fourier-bewijs van de isoperimetrische ongelijkheid voor d> 2 te leren. Ik was altijd heel nieuwsgierig met de vraag waarom Fourier-analyse NIET handig is om isoperimetrische ongelijkheden in dimensie 3 en hoger te bewijzen, gezien het prachtige d = 2-bewijs.
toegevoegd
@Turbo: de $x$ en $y$ coördinaten langs de curve zijn periodieke functies als de curve is gesloten.
toegevoegd
Wellicht is de ongelijkheid van Brunn-Minkowski zelf een isoperimetrische ongelijkheid, dus het is het beste om te praten over hoe het is bewezen. Elk bewijs dat ik ken, omvat een vorm van symmetrisatie via herschikking (de modieuze termen zijn massatransport). Er zijn absoluut diepe verbanden tussen Brunn-Minkowski en Fourier-analyse, maar ik zal mensen die dit veel beter dan mij begrijpen dit uitleggen.
toegevoegd
Zowat de enige manier in hogere dimensies is via de ongelijkheid van Brunn-Minkowski. Heeft het een Fourier analytische betekenis?
toegevoegd
@DeaneYang 'een gesloten curve kan worden weergegeven door een paar periodieke functies' is er een elementair voorbeeld?
toegevoegd

Dit geeft geen antwoord op de vraag waarom Fourier-analyse werkt, maar het is zeker een antwoord op hoe iemand zou kunnen denken "Hmm ... misschien zijn we hier op het gebied van Fourier-analyse." Het is dat het oppervlak van een vorm X wordt gedefinieerd in termen van het volume van X + B als B een kleine bal is. Er is een nauwe relatie tussen sumsets en convoluties (de sumset is precies de verzameling punten waarbij de convolutie van de kenmerkende functies van de twee sets niet gelijk is aan nul), en elke keer dat u een convolutie gebruikt, moeten gedachten over Fourier-analyse worden geactiveerd .

De reden waarom ik dit zeg geeft geen antwoord op de vraag waarom Fourier-analyse werkt, is dat er een verschil is tussen de convolutie en de ondersteuning van de convolutie, en de laatste transformeert niet mooi. Maar dat zou niet moeten voorkomen dat iemand denkt aan de analyse van Fourier en probeert een manier te vinden om oppervlakte te relateren aan convoluties.

16
toegevoegd
Dat is een leuk antwoord. Om de een of andere reden had ik nog nooit die interpretatie van het oppervlak gehoord en het is leuk om te horen.
toegevoegd

I'd like to add a few words on what happens in higher dimensions. First, a convexity assumption becomes essential (as in the second proof of Hurwitz which works only for convex domains). The isoperimetric inequalities in $\mathbb R^n$, $n>2$, are much easier to deal with in case of convex bodies, and the whole problem in some sense looks most natural under the convexity assumption. Second, there are many different isoperimetric inequalities in higher dimensions. And Fourier analysis (or rather harmonic analysis on a sphere) can be successfully applied to prove at least some of them.

There is a classical approach to isoperimetric problems based on Steiner's theorem. Let $K$ be a convex body in $\mathbb R^n$ and let $K_r$ denote the "parallel" body $$K_r=\{x\in\mathbb R^n|\ dist(x, K)\leq r \},\quad r>0.$$ Then, by Steiner's theorem, there exist $n+1$ numbers $W_0^n(K),W_1^n(K),\dots,W_n^n(K)$, such that $$V(K_r)=Vol(K_r)=\sum\limits_{i=0}^{n}{n \choose i}W^n_i(K)r^{i}.$$ It can be shown that $$W^n_0(K)=V(K),\quad W^n_1(K)=\frac{S(K)}{n},\qquad(1)$$ where $S(K)$ is the surface area of $\partial K$. Moreover, $W^n_n(K)$ is equal to the volume $\pi_n$ of the unit ball in $\mathbb R^n$ and $$W^n_{n-1}(K)=\frac{\pi_n}{2}w(K),\qquad\qquad\qquad\quad (2)$$ where $w(K)$ is the mean width of $K$. Note that for $n=2$ the perimeter $P(K)$ equals $\pi w(K).$ The numbers $W_i^n(K)$ give some information on how the convex body $K$ is different from a ball (for the unit ball in $\mathbb R^n$, obviously $W^n_i(K)=\pi_n$ for all $i$.)

A convex body is completely determined by its support function $$h(x)=\sup\{x\cdot y|\ y\in K\}$$ which measures the directed distance of the origin to the tangent plane of $K$ at direction $x\in S^{n-1}.$ Now, the second proof of Hurwitz deals with the Fourier decomposition of the support function of a convex 2D domain. The problem is that in dimension $n>2$ the formulas for volume and surface area in terms of the support function cannot be expressed nicely by means of spherical harmonics. However, it is still possible to derive an isoperimetric inequality for the numbers $W^n_{n-2}$ and $W^n_{n-1}$ via harmonic analysis, namely $$W^n_{n-1}\geq\sqrt{\pi_n W^n_{n-2}}. \qquad\qquad\qquad(3)$$

Wanneer $n = 2$ is dit de standaard isoperimetrische ongelijkheid $P ^ 2 \ geq 4 \ pi A$.

Als $n = 3$ $(3)$ de isoperimetrische ongelijkheid geeft tussen de gemiddelde breedte en het oppervlak van een convex lichaam $$\ pi [w (K)] ^ 2 \ geq S (K). \ Qquad \ qquad \ qquad (4)$$

The proof is a straightforward extension of the second Hurwitz proof (using a decomposition of the support function into a series of spherical harmonics) and can be found here.

Update (concerning the question in Victor's comment below). If we assume as known the inequality $$W_{1}^3\geq \sqrt{W_{0}^3W_{2}^3},$$ then together with (1),(2) and (4) it implies that $S^3\geq 36\pi V^2$. ("Known" means that I don't know how to obtain the inequality using only harmonic analysis. It follows from the Alexandrov-Fenchel inequality for mixed volumes.)

10
toegevoegd
Geweldig! Weet je of $S ^ 3 \ geq 36 \ pi V ^ 2$ $\ textit {any}$ proof heeft op basis van harmonische analyse (niet noodzakelijk van het Hurwitz-type)?
toegevoegd

Mijn twee cent. Sinds de oudheid is het bekend dat de cirkel de kromme is van een gebied met een minimale lengte die het ingeschreven gebied maximaliseert. Dus je weet dat je vanaf het begin naar de cirkel op zoek bent.

Een reeks in cos (x) en sin (x) is zeker een goede manier om cirkels en cirkelsamenstelling weer te geven. Cirkels die rond cirkels draaiden, draaiden rond cirkels, werden epicycles genoemd in de terminologie van de Middeleeuwen en Renaissance. Ze werden gebruikt om de trajecten van planeten te benaderen, die dichtbij cirkels liggen. Dus het gebruik van trigonometrische functies om de bochten dicht bij de cirkel te benaderen, is een idee dat vrij oud is, en vanuit historisch oogpunt tamelijk natuurlijk.

Nu in moderne cursussen in Fourier-analyse, komen motiveringen voor het introduceren van deze reeksen meestal van de warmtevergelijking, trouw aan de oorspronkelijke toepassing die Fourier voor ogen had, of uit puur wiskundige overwegingen over de mooie eigenschappen van orthogonale basis. Dus de link met bochten in de buurt van cirkels is op een of andere manier verloren.

5
toegevoegd