injectieve voorwerpen

Hallo iedereen!! Ik bestudeer de cohomologie van schijven op schema's. Ik heb een vraag voor jou. Laat $ X $ een noetherisch schema zijn. Weet je of de cathegorie QCoh (X) genoeg injectiemiddelen heeft? Ik weet dat het "voldoende flask" is en dat Mod (X) voldoende injecterend is, maar hoe zit het met QCoh (X)? Dank je

2

3 antwoord

Ja. Als $ X $ een Noetherian-schema is, heeft de categorie quasi-coherente schijven op $ X $ voldoende injecties. Zie Hartshorne's Algebraic Geometry, oefening III.3.6 (a).

8
toegevoegd

First of all, let me quote the famous paper by Grothendieck "Sur quelques points d'algebre homologique" (Tohoku Math part 1 & part 2). According to Theorem 1.10.1 there, every abelian category satisfying (AB5) (equivalent to exactness of filtered direct limits) and with a generator has enough injectives, For every scheme $X$ it is well known that $Qco(X)$ is abelian and satisfies (AB5), see, for instance, EGA I, new edition, Corollaire (2.2.2)(iv) where it is proved that such a limit preserves quasi-coherence.

Dus het enige probleem is het bestaan ​​van een generator. Al enige tijd was bekend dat $ Qco (X) $ over een quasi-compact quasi-gescheiden schema een generator heeft. Raadpleeg voor een mooi geometrisch argument het bewijs van de stelling (4) in Kleimans " relatieve dualiteit voor quasi-coherente schijven ". Merk op dat elk noëtiaans schema $ X $ quasi-compact en quasi-gescheiden is, EGA I, (6.1.1) en (6.1.13).

Verrassend genoeg hebben Henoch en Estrada in 2005 met behulp van technieken uit de relatieve homologische algebra het bestaan ​​van een generator voor elk schema bewezen. Zie hun paper " Relatieve homologische algebra in de categorie van quasi-coherente schijven ". (Er was een eerder niet gepubliceerd bewijs van O. Gabber).

Samenvattend, voor elk schema $ X $ heeft de categorie $ Qco (X) $ genoeg injecties.

7
toegevoegd
Is het mogelijk om een ​​betere link te geven naar de Engelse vertaling van Tohoku? Wanneer ik op uw link klik, werkt deze niet. (Dank aan jou en aan Michael Barr!)
toegevoegd de auteur Bryan Roth, de bron
Voor een Engelse vertaling van Grothendieck's Tohoku-paper door Michael Barr, kijk op ftp. math.mcgill.ca/pub/barr/pdffiles/gk.pdf
toegevoegd de auteur Chris H, de bron
@Ravil Vakil Hier is een werkende link: math.mcgill.ca/barr/papers /gk.pdf
toegevoegd de auteur Chris H, de bron

Ja, het heeft genoeg injecties. Zoals uitgelegd in Hartshorne's "Residues and Duality", is de injectieve romp van een quasi-coherente bundel in Mod (X) wederom quasi-coherent. Dit is zelfs meer dan waar je om vroeg.

Minder expliciet, u kunt aantonen dat Qcoh (X) een Grothendieck-categorie is (zie de notities van Daniel Murfet) op voorwaarde dat X geconcentreerd is en als zodanig voldoende injecties heeft.

5
toegevoegd