Representatietheorie over Z

In zijn antwoord op mijn vraag hier citeerde Victor Protsak het volgende resultaat:

Laat $ C_2 $ een eindige cyclische groep van $ 2 $ zijn. Vervolgens is elke $ \ mathbb {Z} [C_2] $ -structuur op $ \ mathbb {Z} ^ n $ isomorf met een directe som van representaties van de volgende typen:

  1. De triviale weergave
  2. De tekenweergave
  3. De weergave op $ \ mathbb {Z} ^ 2 $ die de twee factoren permuteert.

Dit lijkt me een heel mooi resultaat! Ik ken veel leuke bronnen voor representatietheorie over verschillende soorten velden, maar een beetje zoeken levert geen boeken of enquêtes op over de representatietheorie over de gehele getallen. Heeft iemand iets dat ze aanbevelen?

9

1 antwoord

Zie het leerboek van Curtis-Reiner over de representatietheorie van eindige groepen en associatieve algebra's ( MR 144979 ) , Stelling 74.3, pagina 507, en vooral de introductie vanaf pagina 493.

Het resultaat voor cyclische groepen van hoofdvolgorde en voor bestelling 4 was oorspronkelijk gedaan in:

  • Diederichsen, Fritz-Erdmann. "Über die Ausreduktion ganzzahliger Gruppendarstellungen bei arithmetischer Äquivalenz" ABH. Wiskunde. Sem. Hansischen Univ. 13, (1940). 357-412. MR2133 .

Reiner heeft echter nogal wat mooie artikelen geschreven over vergelijkbare onderwerpen. Een van zijn eerdere is op hetzelfde onderwerp:

  • Reiner, Irving. "Integral representations of cyclic groups of prime order." Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 142–146. MR83493 doi:10.2307/2032829

Men kan ook teksten raadplegen over dingen die "kristallografische groepen", "ruimtegroepen" en "p-adische ruimtegroepen" worden genoemd. Plesken heeft verschillende aardige boeken geschreven met behulp van dit soort dingen. Deze geven oneindige families van mooi gerelateerde eindige groepen en helpen natuurlijk ook kristallografen.

Wees voorzichtig om dit soort afbeeldingen te onderscheiden van ZG-modules. ZG-modules zijn in principe onbegrijpelijk, dus in plaats daarvan richten veel mensen zich op ZG-roosters, waarbij de onderliggende module projectief is. Dit betekent dat het idee om matrices te gebruiken nog steeds zinvol is. Er is veel literatuur over modules over groepsringen over mooie ringen (zoals Z- of Dedekind-domeinen), maar een redelijke hoeveelheid is niet van toepassing op vragen over GL (n, Z).

Grof gezegd, zelfs voor G = 1 zijn ZG-modules te moeilijk om te begrijpen, en het toevoegen van een G maakt het alleen maar erger. Een andere veel voorkomende tack is om te kijken naar $ \ hat {\ mathbb {Z}} _ p $ modules, p-adic modules. Nogmaals, de resultaten zijn het mooist voor roosters, maar het wordt daar niet zo erg dichtbij. In Reiner's Maximal Orders-handboek worden enkele van de mooie en goed opgevoede dingen beschreven die u daar kunt zien.

17
toegevoegd
+1 -> Victor voor gratis gebruik van "getrouwe weergave".
toegevoegd de auteur Paul, de bron
Diederichsen's behandeling van $ \ mathbb Z/4 $ is eigenlijk onjuist, zie ams.org/mathscinet -getitem? mr = 124.418
toegevoegd de auteur Pascal Paradis, de bron
Ik weet niet of "ZG-modules in principe onbegrijpelijk zijn" een getrouwe weergave is. De gebruikelijke motivaties voor het bestuderen van representaties zijn afkomstig van matrixgroepen over een veld of van roosters, dus deze twee gevallen zijn natuurlijk het meest ontwikkeld. Ook zijn eindig gegenereerde Z-modules (ook wel Abelse groepen genoemd) NIET moeilijk te begrijpen. Integendeel, er is een mooie complete theorie die de bron was van vele ontwikkelingen in groepstheorie en algebra in het algemeen.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron