Is er een directe manier om de hoger verkregen beeldschijven van een familie van $ \ mathbb {P} ^ n $ s te berekenen?

Laat $ V \ rightarrow Y $ een vectorbundel van rang $ n + 1 $ over $ Y $ zijn, met $ Y $ redelijk aardig (ik geef om het geval van een soepele, onherleidbare affiene). Laat $ X = \ mathbb {P} (V) $ de projectivisatie van $ V $ zijn, dus $ f: X \ rightarrow Y $ is een platte familie van $ \ mathbb {P} ^ n $ s.

De Serre-wendingen in elke vezel passen samen in een wereldwijde Serre-twist, waardoor gradaties van functoren mogelijk zijn. Definieer de gesorteerde directe afbeelding van een schoof $ \ mathcal {M} $ op $ X $ om de gesorteerde schoof te zijn op $ Y $

$$ \ onderstrepen {f _ *} (\ mathcal {M}): = \ bigoplus_ {i \ in \ mathbb {Z}} f _ * (\ mathcal {M} (i)) $$

Dit is nog steeds een exacte functor links, dus ik kan het goed afleiden. Ik wil het afgeleide directe beeld van de structuurschoof berekenen

$$ \ mathbb {R} \ onderstrepen {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $$

Ik weet wat het zou moeten zijn.

  • De groep $ \ onderstreept {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $ moet $ Sym_Y (V ^ \ vee) $ zijn, de bundel van gegradeerde algebra's op $ Y $, wat de symmetrische algebra van de duale is vectorbundel $ V ^ * $ over $ V $.
  • De groep $ \ mathbb {R} ^ n \ onderstrepen {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $ zou $ (Sym_Y (V ^ \ vee)) ^ \ vee (-n-1) $ moeten zijn , de gesorteerde duaal voor de gesorteerde schoof van modules $ Sym_Y (V ^ V '$. Dit betekent dat we in $ grad $ -n-1 $ $ (Sym_Y (V ^ \ vee)) _ 0 ^ \ vee $ hebben, in gradatie $ -n-2 $, we hebben $ (Sym_Y (V ^ \ vee)) _ 1 ^ \ vee $, enz. Het verdwijnt met name in gradatie $ -n $ en hoger. (Deze groep moet mogelijk worden gespannen met een lijnbundel op $ Y $, ik weet het niet helemaal zeker)
  • Alle andere $ \ mathbb {R} ^ i \ onderstreep {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $ zou nul moeten zijn.

The Absolute Case

Ik weet hoe ik dit moet berekenen in het absolute geval, wanneer $ Y $ een punt is. Daar kan ik een basis kiezen voor $ V ^ \ vee $, die een Cech-complex $ \ mathcal {C} $ produceert, dat in elke graad i de directe som is over alle lokalisaties van de structuurschoof bij $ (i + 1) $ -grote basiselementen in $ V ^ \ vee $. Elk van de termen in het Cech-complex is direct-afbeelding-acyclisch, dus $ \ onderstreept {f _ *} (\ mathcal {C} ^ \ vee) $ berekent de afgeleide directe afbeelding.

Als $ (x_0, ... x_n) $ een basis is voor $ V ^ \ vee $, dan is $ Sym_Y (V ^ \ vee) = \ mathbb {C} [x_0, ... x_n] $, en de ith termijn van $ \ onderstrepen {f _ *} (\ mathcal {C}) $ is isomorf voor

$$ \ bigoplus _ {(j_1, ..., j_i) \ subset (0, .. n)} \ mathbb {C} [x_0, ... x_n, x_ {j_1} ^ {- 1}, ... x_ {j_i} ^ {- 1}] $$

Er is dan een natuurlijke kaart $$ \ mathbb {C} [x_0, ... x_n] \ rightarrow \ bigoplus_ {j \ in (0, .. n)} \ mathbb {C} [x_0, ... x_n, x_j ^ {- 1} ] $$ gegeven door de afwisselende som over de natuurlijke insluitsels. Er is ook een natuurlijke koppeling $$ \ mathbb {C} [x_0 ^ {\ pm1}, ... x_n ^ {\ pm1}] \ times \ mathbb {C} [x_0, ... x_n] \ rightarrow \ mathbb {C} (- n -1) $$ waarbij $ f \ in \ mathbb {C} [x_0 ^ {\ pm1}, ... x_n ^ {\ pm1}] $ en $ g \ in \ mathbb {C} [x_0, ... x_n] $ tot $ res (fg) $, waarbij $ res $ de coëfficiënt is van het monomiale $ x_0 ^ {- 1} x_1 ^ {- 1} ... x_n ^ {- 1} $ (dat is een graad $ -n-1 $ element). Deze natuurlijke koppeling geeft een aanvullende kaart $$ \ mathbb {C} [x_0 ^ {\ pm1}, ... x_n ^ {\ pm1}] \ rightarrow (\ mathbb {C} [x_0, ... x_n]) ^ \ vee (-n-1 ) $$

Sommige berekeningen geven vervolgens aan dat de samenstelling van deze twee kaarten een onderscheiden driehoek is in de afgeleide categorie. $$ \ mathbb {C} [x_0, ... x_n] \ rightarrow \ onderstrepen {f _ *} (\ mathcal {C}) \ rightarrow (\ mathbb {C} [x_0, ... x_n]) ^ \ vee (-n-1) [- n] $$ Hiermee wordt de bovenstaande structuur van $ \ mathbb {R} \ onderstreept {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $ vastgesteld in dit geval.

Algemener

Voor $ Y $ geen punt, het is nog steeds mogelijk om een ​​identieke berekening uit te voeren wanneer de vectorbundel $ V $ triviaal is. Ik kom echter in moeilijkheden wanneer $ V $ niet triviaal is. De structuur van het Cech-complex is sterk afhankelijk van de keuze van een basis, dus het lijkt me niet mogelijk om lokale resultaten samen te voegen.

Wanneer $ V $ wordt gegenereerd door globale secties, kan ik een analoog Cech-complex bedenken waarbij ik plaatsmaak op subsets van een of andere basis van globale secties. Buiten het triviale geval zal dit Cech-complex echter langer zijn dan ik wil, en er lijkt geen mooie residu-kaart te zijn zoals hierboven.

Notitie! Ik wil Serra dualiteit/Grothendieck dualiteit niet gebruiken, omdat de bovenstaande berekening van $ \ mathbb {R} \ underline {f _ *} (\ mathcal {O} _X) $ het startpunt lijkt te zijn voor de meeste bewijzen van deze dualiteiten .

Mijn interesse ligt in een nabije, niet-commutatieve versie van deze vraag, en ik probeer een analoog van de bovenstaande berekening te gebruiken om de overeenkomstige dualiteitstheorem te bewijzen.

5
Ach, nu voel ik me slecht voor het stellen van een Hartshorne-vraag. Ik kan deze vraag afsluiten als mensen willen.
toegevoegd de auteur eviljack, de bron
Dit klinkt goed cf. hoofdstuk III oefening 8.4 van Hartshorne. (Ik neem aan dat je de dubbele conventie gebruikt voor $ \ mathbb {P} (V) $.)
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron
Als je dat nutteloos vond, probeer dan EGA III, prop 2.1.15.
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron
Niets om je slecht over te voelen. Uiteraard dacht je er op de juiste manier over na.
toegevoegd de auteur Mike Fielden, de bron

Geen antwoorden

0