Lokale complete kruispunten die geen volledige kruispunten zijn

De volgende definities zijn standaard:

Een affiene variëteit $ V $ in $ A ^ n $ is een volledige intersectie (c.i.) als het verdwijningsideaal kan worden gegenereerd door ($ n - \ dim V $) polynomen in $ k [X_1, \ ldots, X_n] $. De definitie kan ook worden gemaakt voor projectieve variëteiten.

$ V $ is plaatselijk een compleet kruispunt (l.c.i.) als de lokale ring van elk punt op $ V $ een c.i. (dat wil zeggen quotiënt van een gewone lokale ring door een ideaal gegenereerd door een normale reeks).

Wat zijn voorbeelden (bij voorkeur affine) van l.c.i. die niet c.i. ? Ik heb nog nooit zo iemand gezien.

22

5 antwoord

(Ter aanvulling op het voorbeeld van Alberto)

Als $ V $ projectief is, is de kloof tussen lokaal c.i en c.i behoorlijk groot. In het bijzonder zou elke vlotte $ V $ plaatselijk c.i. zijn, maar ze zijn niet c.i. typisch. Neem bijvoorbeeld $ V $ om een ​​paar punten te zijn in $ \ mathbb P ^ 2 $ zou eenvoudige voorbeelden geven. In hogere dimensies, door Grothendick-Lefschetz, als $ V $ soepel is, $ \ dim V \ geq 3 $, en $ V $ is c.i. dan $ \ text {Pic} (V) = \ mathbb Z $, dus het is een serieuze beperking.

Het affiene geval is subtieler. Opnieuw kan men naar soepele variëteiten kijken. Als $ V $ een vloeiende affiene curve en c.i. is, dan is de canonieke bundel van $ V $ triviaal. Dus het geeft de volgende strategie: begin met een projectieve curve $ X $ van het genus ten minste $ 2 $, waarbij enkele algemene punten worden verwijderd om een ​​(nog steeds vloeiende) affiene curve met niet-triviale canonieke bundel te verkrijgen.

For more details on the second paragraph, see this question, especially Bjorn Poonen's comments. This paper contains relevant references, and also an example with trivial canonical bundle.

29
toegevoegd
Bedankt voor de link naar het prachtige artikel van Kumar, Hailong.
toegevoegd de auteur tomlogic, de bron
Dus de voorwaarde l.c.i. is gemaakt om op natuurlijke wijze te worden vervuld door het nemen van gladde variëteiten. Het zou prima zijn als we ook enkele voorbeelden bij de hand hebben ...
toegevoegd de auteur dfdx2, de bron

Het eerste voorbeeld is de verwrongen kubieke in $ \ mathbb {P} ^ 3 $.

6
toegevoegd
Maar de kegel op een verwrongen kubus zou een affine voorbeeld moeten geven ...
toegevoegd de auteur Eric Labashosky, de bron
Dit is echter geen affiniteitsvoorbeeld, omdat in $ \ mathbb {A} ^ 3 $ de verdraaide kubieke $ \ {(t, t ^ 2, t ^ 3): t \ in k \} $ de verdwijning is set van de twee polynomen $ yx ^ 2 $, $ z - x ^ 3 $.
toegevoegd de auteur Caleb, de bron
Matthew, het is niet zo deprimerend, Hartshorne's oefeningen bevatten veel goede stellingen (-:
toegevoegd de auteur Marcin Kotowski, de bron
Michael: de lokale ring aan de oorsprong is niet c.i.
toegevoegd de auteur Marcin Kotowski, de bron
Ik maakte me zorgen over een zeer vergelijkbaar probleem met betrekking tot complete kruispunten onlangs, en de verwrongen kubus leverde een tegenvoorbeeld op waarvan ik had gehoopt dat het waar was. Zeer deprimerend wanneer er een tegenvoorbeeld is opgenomen in de tweede oefening in Hartshorne's Alg. Geom ...
toegevoegd de auteur Garet Claborn, de bron

Varieties in an affine space.

  • in karakteristiek nul is elke lci $ X \ subseteq \ mathbb {A} ^ n $ een set-theoretische volledige intersectie.
  • In karakteristieke $ p $ is elke lci-curve $ C \ subseteq \ mathbb {A} ^ n $ een set-theoretische volledige intersectie.

Projective varieties

Laat $ X \ subseteq \ mathbb {P} ^ n $ een soepele niet-gedegenereerde graad $ p $ (een priemgetal) variëteit van codimensie $ c $ zijn. Dan is $ X $ geen schema-theoretische complete kruising. Inderdaad, als $ X = H_1 \ dop H_2 \ dop ... \ dop H_c $, dan $ deg (H_2) = ... = deg (H_c) = 1 $ en $ deg (H_1) = p $ volgens de stelling van Bezout omdat $ p $ prime is. Daarom zou $ X $ gedegenereerd zijn. Een voorbeeld is opnieuw de gedraaide kubieke $ C \ subset \ mathbb {P} ^ 3 $. $ C $ is echter een set-theoretische complete kruising. Er bestaat een quadric oppervlak $ Q $ en een kubieke oppervlakte $ S $ zodanig dat $ Q \ cap S = 2C $ (dat wil zeggen $ Q $ en $ S $ raken langs $ C $).

Hartshorne Conjecture: If $X\subseteq\mathbb{P}^N$ is a smooth variety of dimension $n$, codimesnion $c$ and $c\geq 2n+1$ then $X$ is a scheme-theoretic complete intersection.

Hartshorne Conjecture is bewezen voor Fano-variëteiten van codimension twee en kwadratische variëteiten (d.w.z. variëteiten die alleen kunnen worden gedefinieerd door vierkantige polynomen).

Thanks to Barth’s result: Barth, W.: ”Transplanting cohomology classes in complex-projective space”, Amer. J. Math., 92, 951-967 (1970), and since no indecomposable rank two vector bundle on $\mathbb{P}^N$, $N\geq 5$, is known, it is generally believed that any smooth, codimension two subvariety of $\mathbb{P}^N$, $N \geq 6$, is a complete intersection. The main results for codimension two subvarieties can be summarized as follows: let $\omega_X\cong \mathcal{O}_X(e)$, $d$ the degree of $X$ and $s$ the minimal degree of an hypersurface containing $X$. if $e \leq N + 1$ or if $d < (N − 1)(N + 5)$ or if $s \leq N − 2$, then $X$ is a complet intersection. For $N = 5,6$ we can something more: let $X \subset \mathbb{P}^6$ be a smooth, codimension two subvariety, if $s\leq 5$ or if $d \leq 73$, then $X$ is a complete intersection. Let $X \subset \mathbb{P}^5$ be a smooth, subcanonical threefold. If $s \leq 4$, then $X$ is a complete intersection. This is Theorem 1.1 of http://arxiv.org/abs/math/9909137.

3
toegevoegd
Ik denk dat het vermoeden van Hartshorne verkeerd is geformuleerd - elke variëteit kan worden ingebed in $ \ mathbb P ^ N $ met grote codimensie. Voor de binding moet de codimensie klein zijn.
toegevoegd de auteur brabster, de bron

Uit het antwoord van Hailong, denk ik dat het mogelijk is om eenvoudiger voorbeelden als volgt te maken: neem $ V $ een gladde affiene variëteit die niet equidimensionaal is (zo duidelijk is het l.c.i maar niet c.i). Bijvoorbeeld, $ V $ is de unie van het vlak $ z = 0 $ en de lijn $ z = 1, x = y $ in $ \ mathbb A ^ 3 $. $ V $ is vlot (het kan worden bewezen dat $ I (V) = (zx-zy, z ^ 2-z) $).

Het nadeel van deze constructie is dat $ V $ herleidbaar moet zijn.

Corrigeer me als ik het mis heb.

1
toegevoegd

EDIT: Dit is verkeerd. Ik heb het niet verwijderd om de volgende opmerkingen zinvol te maken.

U krijgt nooit een voorbeeld om de volgende reden: gezien een lokale volledige intersectie $ V $ binnen $ \ mathbb {A} _k ^ n $, kunt u altijd een globaal volledig kruispunt $ W $ vinden in $ \ mathbb {A} _k ^ n $ zodat de beperkte variëteiten geassocieerd met $ V $ en $ W $ hetzelfde zijn.

Bewijs:

Stel dat $ I $ een ideaal is van $ k [X_1, \ dots, X_n] $ zodat de variëteit $ V (I) $ een lokaal compleet kruispunt is. Dit dwingt alle lokale ringen van $ V (I) $ om Cohen-Macaulay te zijn, dus equidimensionaal. Dus de onherleidbare componenten van $ V (I) $ hebben allemaal dezelfde codimensie in $ \ mathbb {A} _k ^ n $; laten we deze codimensie $ r $ noemen.

Omdat $ k [X_1, \ dots, X_n] $ Cohen-Macaulay is, is de hoogte van $ I $ (wat $ r $ is) gelijk aan de diepte, wat betekent dat $ I $ een normale reeks $ f_1 bevat, \ punten, f_r $ van lengte $ r $. Door hoogtes te beschouwen, zien we dat de minimale priemgetallen boven de ideale $ J = \ langle f_1, \ dots, f_r \ rangle $ gelijk zijn aan de minimale priemgetallen boven $ I $. Daarom hebben $ J $ en $ I $ dezelfde radicaal, wat de claim impliceert (met $ W = V (J) $). QED

Dus als je tegenvoorbeelden probeert te maken, moet je je zorgen maken of die regel op het papier nilpotente elementen in de schoof heeft ...

0
toegevoegd
Matthew: de minimale priemgetallen boven $ (f_1, \ cdots, f_r) $ zijn niet noodzakelijk die van $ I $. Inderdaad, beslissen of een ras is ingesteld - een theoretische volledige intersectie is een subtiel probleem.
toegevoegd de auteur Marcin Kotowski, de bron
@Matthew: Is niet bekend of een onherleidbare affiene curve in $ \ mathbb C ^ 3 $ een set-theoretische c.i. Zie probleem 5 [hier] (www.math.lsa.umich.edu/~hochster/Lip.text.pdf)
toegevoegd de auteur Marcin Kotowski, de bron
Ja, 25 minuten na het posten besefte ik mijn fout en ben teruggekeerd om mijn 'antwoord' te bewerken. Maar ik dacht dat de notie van analytische spreiding en set-theoretische volledige intersectie in het affiene geval goed begrepen werd, hoewel niet het projectieve. Zijn ze dat niet?
toegevoegd de auteur Garet Claborn, de bron
Hailong, heel erg bedankt voor de referentie! Ik heb eigenlijk een oud papier gelezen van Hochster op Cohen-Macaulay-ringen (en ik heb net van je webpagina gemerkt dat hij jouw supervisor was!). Nogmaals bedankt.
toegevoegd de auteur Garet Claborn, de bron