Hoe symmetrische tensorproducten van SO (10) -representaties berekenen?

Ik wil gewoon de eenvoudigste zaak overwegen:

Laat S = [0,0,0,0,1], hoe de algemene formule voor $ Sym ^ k $ S afleiden?

Mijn vermeende formule op basis van de resultaten van LiE-programma voor eindige k-waarden is:

Sym $ ^ k (S) = \ overlopende {\ left [k/2 \ right]} {\ underset {i = 0} {\ Oplus}} [i, 0,0,0, k-2i] $

Maar ik heb geen idee hoe het te bewijzen of zelfs een afleiding voor het eenvoudigste geval als k = 2.

Elke referentie of tips zou zeer op prijs worden gesteld.

PS. Sorry voor de verwarring. Nu heb ik de spinorrepresentatie "V" in "S" veranderd.

4
(Ik wou dat ik opmerkingen kon bewerken!) Eric's gok is perfect: in Lie, met standaard Lie-algebra van type D5, is de weergave met Dynkin-labels [0,0,0,0,1] een van de 16-dimensionale complexen half-spinor-weergaven. De andere, de complexe geconjugeerde weergave, is [0,0,0,1,0].
toegevoegd de auteur PabloG, de bron
Ik denk dat dit een van de twee spin-herhalingen is, omdat $ Sym ^ 2 (W) $ de triviale vertegenwoordiger zou bevatten. als $ W $ de $ 10 $ -dimensionale rep is.
toegevoegd de auteur Osvaldo, de bron
Kun je de notatie verduidelijken? Ik neem aan dat V = [0,0,0, 1,0] de 10-dimensionale vectorrepresentatie is. Dan zou ik verwachten dat [1,0,0,0,0] een van de twee spin-representaties is. Behalve dat je geen spinor krijgt in $ Sym ^ k V $. Het geval k = 2 is eenvoudig. Je krijgt [0,0,0,0,2] en de triviale weergave die [0,0,0,0,0] is.
toegevoegd de auteur Templar, de bron
Bedankt. Het geval k = 2 (en alle spin-weergaven) zijn te vinden in het postume boek van Adams. Ik vind de formule in de vraag nog steeds verrassend.
toegevoegd de auteur Templar, de bron

3 antwoord

Gebaseerd op opmerkingen van Eric Rowell en José Figueroa-O'Farrill, neem ik aan dat je $ V $ een half-spinor-weergave is van $ Spin_ {10} $. Het belangrijkste probleem is dat je hypothetische decompositie van $ S (V) $ multipliciteitsvrij is, d.w.z. elke module die erin voorkomt heeft multipliciteit één. Er is een prachtige theorie van multipliciteit-vrije acties waarmee je het volgende kunt doen.

(1) Test dat $ V $ een multipliciteitsvrije $ G $ -module is.

(2) Vind de hoogste gewichten van de eenvoudige summands in $ S (V) $.

Voor (1) is de actie multipliciteitsvrij als en alleen als de subgroep $ B $ van Borel een open baan heeft op $ V $. Voor (2) vormen de hoogste gewichten een vrije commutatieve semigroup waarvan de generatoren worden bepaald uit de stabilisator in $ B $ van een punt in de open baan.

An excellent survey is Roger Howe's Schur lectures.

Alle multipliciteit-vrije lineaire acties (dat wil zeggen modules) van reductieve algebraïsche groepen zijn geclassificeerd. Een handige referentie is

Howe en Umeda, De Capelli-identiteit, de dubbele commutant theorema en multipliciteit-vrije acties , Mathematische Annalen, 290, 565 - 620 (gratis beschikbaar via GDZ , maar lastig om naar te linken).

Item (x) van de lijst (11.0.1) op p.583 is je actie $ Spin_ {10} \ maal GL_1. $ Deze module komt voort uit de actie van een Levi-factor van een maximale parabolische waarde van $ E_6 $ op zijn abelse nilradical (verwijder laatste knooppunt uit het Dynkin-diagram van $ E_6 $ om $ D_5 $ te krijgen). De decompositie wordt beschreven in 11.10 op p.602: er zijn twee fundamentele hoogtegewichten, één in graad 1 die overeenkomt met de Spin-module zelf en één in graad 2 die overeenkomt met de standaard 10-dimensionale weergave van $ SO_ {10}. $ Dit is leidt tot de ontbinding die u hebt aangegeven.

9
toegevoegd

Ik ben niet bekend met uw notatie, maar is $ V $ de standaardrepresentatie van $ \ text {SO} _ {10} \ mathbb {C} $? Als dat zo is, is $ \ text {Sym} ^ k V $ de representatie van $ \ text {GL} _ {10} \ mathbb {C} $ die overeenkomt met de partitie $ \ lambda = (k, 0, ..., 0) $. Dan kunt u de formule van Littlewood toepassen om te zien hoe deze onherleidbaar uiteenvalt wanneer u zich beperkt tot $ \ text {GL} _ {10} \ mathbb {C} $ tot $ \ text {SO} _ {10} \ mathbb {C} $: de veelvoud van de onherleidbare weergave $ V _ {[\ mu]} $ die overeenkomt met de partitie $ \ mu $ zal zijn

$ \ sum_ \ eta C _ {\ eta \ mu} ^ \ lambda $

waarbij $ C _ {\ bullet \ bullet} ^ \ bullet $ de Littlewood-Richardson-coëfficiënt is en de som boven alle partities $ \ eta = (\ eta_1, \ eta_2, \ eta_3, \ eta_4, \ eta_5) $ met elk $ \ eta_i $ even. (Fulton-Harris "Representation theory", vergelijking 25.37, blz. 427) Hopelijk kunt u controleren of dit overeenkomt met uw verwachte antwoord.

2
toegevoegd
$ V = S $ is een representatie van een halve spinor.
toegevoegd de auteur SevenSidedDie, de bron

Ik denk dat je dit waarschijnlijk kunt bewijzen door inductie met behulp van Littelmann-paden. Omdat de (16-dimensionale) spin rep minuscuul is, kun je ten minste de tensor-krachten berekenen door het optellen van gewichten van de vorm $ (\ pm 1/2, \ ldots, \ pm 1/2) $ waar je een even neemt aantal $ - $ tekens en weggooien van sommen die zich niet in de dominante Weyl-kamer bevinden.

Bewerken: u kunt dus de wegingen van de irreps berekenen. in $ V ^ {\ ot 2} $ op deze manier. Gebruik vervolgens de Weyl-afmetingsformule om de herhalingen te kiezen. waarvan de dimensie oploopt tot $ 136 $. Dit geeft je hoe dan ook het $ k = 2 $ -geval.

2
toegevoegd
Er zijn filosofische redenen waarom methoden zoals Littelmann-paden en kristalbodems niet eenvoudig kunnen worden aangepast om decompositie van symmetrische krachten te berekenen.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
@Bruce: een manier is om vals te spelen en dimensies van de irreps te gebruiken om te bepalen welke optellen tot de dimensie $ Sym ^ k (V) $.
toegevoegd de auteur Osvaldo, de bron
Dit is een goede manier om een ​​tensorvermogen te ontleden. Ik zie niet hoe de symmetrische kracht te kiezen.
toegevoegd de auteur Templar, de bron