Kunnen equivalenties worden verengd tot isomorfismen?

In de categorietheorie zijn er veel voorbeelden van isomorfismen die niet kunnen worden gestimuleerd om identiteiten te worden. Elke monoïde categorie is bijvoorbeeld equivalent aan een strikte monoidale categorie, waarbij de associativiteit en eenheid-isomorfismen identiteiten zijn, maar niet elke gevlochten monoidale categorie is equivalent aan een strikt gevlochten, waarbij het vlechten een identiteit is.

In de hogere categorietheorie zijn beperkingen in het algemeen (adjoint) equivalenties in plaats van isomorfismen. De associativiteit en eenheid 2-cel beperkingen voor een tricategorie (zwakke 3-categorie) zijn bijvoorbeeld gelijkwaardigheden, maar de 3-cel beperkingen (zoals de interchanger) zijn nog steeds isomorfismen, omdat er "geen ruimte" is voor iets zwakkere ( er zijn geen 4-cellen in een tricategorie). Elke tricategorie is gelijkwaardig, niet aan een strikte 3-categorie waar alle beperkingen identiteiten zijn, maar een categorie Grijs waar de associators en unitors identiteiten zijn, maar de interchanger niet.

Ik ben op zoek naar een voorbeeld van een hoger-categorische structuur met beperking equivalenties die niet kan worden verengd, zelfs niet om isomorfismen (niet noodzakelijk identiteiten) te worden. Omdat de enige niet-triviale beperkingen in een grijs-categorie topdimensionaal zijn en dus isomorfismen, zou de eerste plaats om dit te zoeken in een soort van 4-categorie vallen. Maar we kunnen het ook beter hanteerbaar maken door enigszins gedegenereerd te zijn. Een drievoudig gedegenereerde 4-categorie (precies één 0-, 1- en 2-cel) zou (door de afnemende hypothese) een symmetrische monoidale categorie zijn, zonder ruimte voor gelijkwaardigheden die geen isomorfismen zijn, dus het volgende niveau van complexiteit lijkt de eerste plaats om te kijken.

Een dubbel gedegenereerde 4-categorie zou hetzelfde moeten zijn als een gevlochten monoïde bicategorie, en door de coherentiestelling voor tricategorieën is iedereen daarvan equivalent aan een gevlochten grijs-monoïde (een grijs-monoïde is een grijs-categorie met één object). Hoe dan ook, het vlechten in een gevlochten grijs-monoid is a priori , nog steeds alleen een equivalentie , dus een manier om deze vraag nauwkeurig te maken zou zijn:

Is elk gevlochten grijs-monoid equivalent aan een wiens vlecht een isomorfisme is, in plaats van slechts een equivalentie?

22
Nou, ik zei "een manier om deze vraag precies te maken zou zijn ..." (-: Ik denk dat de vraag het meest interessant is als we ook om een ​​andere semistrictness vragen, omdat we weten dat (uitwisseling in lage dimensies) in feite kan worden omgezet in een identiteit zolang de beperkingen van de eenheid zwak genoeg zijn.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Ook is het begrip "1-cel-isomorfisme" niet heel logisch in een categorie die geen strikt 2-categorie is. Zelfs identiteiten in een bicategorie zijn meestal geen isomorfismen! Maar je zou kunnen vragen naar een gevlochten monoidale strict-2-categorie die zwakker is dan een Grey-monoïde, denk ik.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
A priori lijkt de laatste vraag die je vraagt ​​een schaduw sterker dan waarmee je bent begonnen. Er zijn andere situaties waarbij bekend is dat je aspect A of aspect B van iets strikts kunt maken, maar niet allebei tegelijk; en het lijkt voorstelbaar dat, bijvoorbeeld, elke gevlochten Grijs-monoïde zijn vlechting naar een gelijkwaardigheid zou kunnen strekken, maar dat dit proces de Grijsheid zou kunnen vernietigen door alleen een gevlochten monoïde bicategorie te geven, en dan zou Gray-terugdringing terug kunnen draaien het vlechten terug in slechts een gelijkwaardigheid? Of behoudt Gray-ification het eigendom van vlechten als iso?
toegevoegd de auteur Pandincus, de bron
Ik denk dat het waar is dat elke Grey-groep (een Grey-groupoïde met één object) equivalent is aan een Golglijn die voortkomt uit een 2-gekruiste module. Je zou kunnen zien wat het vlechten onder deze gelijkwaardigheid wordt, maar dit is niet echt een onmogelijkheidsresultaat, meer als een voorwaardelijk onmogelijkheidsresultaat (kan je cake niet hebben en eet het)
toegevoegd de auteur Xavier Nodet, de bron

2 antwoord

Het verbaast me dat ik dit niet meteen heb opgemerkt en dat niemand anders het ook heeft opgemerkt.

Elke categorie is gelijkwaardig aan een skeletachtige. Daarom is elke bicategorie (bi) equivalent aan een homologie waarvan de homecategorieën skeletachtig zijn. Maar in een dergelijke categorie is elke 1-celsequivalentie een isomorfisme. Daarom is elke (gevlochten, symmetrische, ...) monoïde bicategorie mono-equivalent gelijk aan een waarin alle 1-celsequivalentiegrenswaarden isomorfismen zijn.

Dit is zeker een voorbeeld van het "meeloop-mier" -aspect van de samenhang dat Peter noemde, omdat we niet kunnen verwachten een bicategorie zowel een strikte (dat wil zeggen een 2-categorie) als een lokaal skelet te maken. Dus het geeft geen antwoord op de "manier om de vraag precies te stellen" die ik vroeg, maar het zegt iets over de onnauwkeurige versie.

5
toegevoegd
De gelijkwaardigheid tussen een categorie en een skeletale, maakt over het algemeen gebruik van Keuze. In sommige gevallen kan het belangrijk zijn om te weten of de equivalentie/isomorfie die ermee gemoeid is al dan niet computationeel is.
toegevoegd de auteur Mathias711, de bron

Het lijkt erop dat het antwoord op de overeenkomstige vraag voor symmetrische grijs-monoïden ja is; dit werd aangetoond door Schommer-Pries en netjes opnieuw geformuleerd door Gurski-Johnson-Osorno . Nick zegt dat hij denkt dat de gevlochten zaak zou moeten werken op vergelijkbare wijze.

2
toegevoegd